SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Studio di funzione es – 16 –

Pubblicato il 6 Giugno 2012 da admin

Renè Magritte – Le passeggiate d’Euclide – 1955

16) $y=\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}$

-a- Dominio della funzione:

Essendo una funzione frazionaria i punti in cui non è definita la funzione sono quelli che annullano il denominatore:

$4x^{2}+4=0$

$x^{2}=-1$

che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

$D=\left\{ \forall x\epsilon Re\right\}$

-b- Segno della funzione

N: $2-2x>0$

$x<1$

D: è sempre positivo

Quindi la y è positiva per i valori di x minori di 1.

-c- Limiti

Non ci sono limiti verticali proprio per il Dominio

Cerco il limiti orizzontali:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0$

$\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0$

Quindi si ha un limite orizzontale

Verifico la presenza o meno del limite obliquo:

$\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}\cdot\cfrac{1}{x}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x+4}=0$

non si ha limite obliquo

d) Massimi o minimi

$y'=\cfrac{-2(4x^{2}+4)-(8x)(2-2x)}{(4x^{2}+4)^{2}}=\cfrac{8x^{2}-16x-8}{idem}$

lo annullo per verificare la presenza di massimi o minimi relativi.

$8x^{2}-16x-8=0$

Divido per 8 e risulta:

$x^{2}-2x-1=0$

$x_{1,2}=\cfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\cfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}$

Approssimo le relative soluzioni:

$x_{1}=-0,41$ e $x_{2}=2,41$

Studio la disequazione:

$x^{2}-2x-1>0$ per capire quale dei due è il punto di massimo e di minimo:

quindi:

$x_{1}=-0,41$ è il punto di MASSIMO

$x_{2}=2,41$ è il punto di minimo

Per trovare la relativa ordinata si sostituiscono all’equazione di partenza (16)

e si trova:

$M(-0,41;0,60)$ e $m(2,41;-0,10)$

e) Intersezioni

Pongo $x=0$ e trovo $y=0,5$

Pongo $y=0$ e trovo $x=1$

f) grafico

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Studio di funzione es – 15 –

Pubblicato il 6 Giugno 2012 da admin

15) $y=\cfrac{4x}{9-x^{2}}$

a) Dominio

Essendo una funzione frazionaria elimino dal dominio le radici del denominatore (soluzioni della realtiva equazione che è presente al denominatore).

$9-x^{2}=0$

E’ un’equazione di secondo grado di tipo pura per cui non serve applicare la formula risolutiva.

$x_{1,2}=\pm\sqrt{9}=\pm3$

quindi il dominio è:

$D=\left\{ \forall x\epsilon\Re|x\neq\pm3\right\}$

Già da questo primo passo posso dire che avrò due asintoti verticali, per studiare bene i limiti, però devo studiare bene il segno della funzione.

b) Segno della funzione

N: $4x>0$ che ha soluzione:

$x>0$

D: $9-x^{2}>0$

Una tentazione a cui molti sono soggetti è fare il seguente passaggio:

$-x^{2}>-9$ da cui:

$x^{2}<9$ e quindi il passaggio conclusivo

$x_{1,2}<\pm3$ che afferma che i valori di x, per cui la disequazione iniziale ha significato, devono essere sia minori di 3 che minori di -3: e quindi verrebbe da dire tutte le x più piccole di -3! Si prenda ad esempio -10 ma esso non soddisfa l’equazione di partenza!

Tale procedimento è quindi TOTALMENTE SBAGLIATO.

Si deve sempre passare alla relativa equazione di secondo grado ed una volta trovate le soluzioni (già precedentemente trovate per determinare il dominio) la disequazione di partenza si può scrivere come:

$\left(3-x\right)\left(3+x\right)>0$