Ellisse: formula di sdoppiamento

Pubblicato il 6 Marzo 2012 da admin

Salvador Dalì – “Smaterializzazione del naso di Nerone”, 1947

La formula di sdoppiamento viene utilizzata per:

DETERMINARE LA RETTA TANGENTE AD UN’ELLISSE IN UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL’ELLISSE STESSA

Eccola:

$\cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1$

L’equazione dell’ellisse è:

(1) $\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$

il punto $P(x_{0};y_{0})$ appartiene all’ellisse per cui è soddisfatta la seguente identità:

(2) $\cfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$

Sottraggo la (2) alla (1) e risulta:

(3) $\cfrac{x^{2}-x^{2}_{0}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}-y^{2}_{0}}{b^{2}}=0$

semplifico e sviluppo i due binomi tra parentesi come la differenza di binomi:

(4) $\cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{(y-y_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0$

Considerando adesso che l’equazione della retta passante per il punto P ha equazione:

(5) $y-y{_{0}}=m\left ( x-x_{0} \right )$

sostituisco la (5) nella (4), quest’ultima diventa:

(6) $\cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(x-x_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0$

posso dividere il tutto per $(x-x_{0})$

e la (6) diventa:

(7) $\cfrac{(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y+y_{0})}{b^{2}}=0$

siccome il punto P appartiene a questa curva sostituendo le sue coordinate la (7) diventa:

(8) $\cfrac{(x{_{0}}+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y{_{0}}+y_{0})}{b^{2}}=0$

sviluppando i monomi si ha:

(9) $\cfrac{(2x{_{0}})}{a^{2}}+\cfrac{m(2y{_{0}})}{b^{2}}=0$

Risolvendola rispetto all’incognita m ho:

(10) $m=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$

Sostituendo adesso la (10) nell’equazione generica della retta (5) si ha:

(11) $y-y_{0}=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\cdot \left ( x-x_{0} \right )$

(12) $(y-y_{0})\cdot a^{2}y_{0} =-b^{2}x_{0}\cdot \left ( x-x_{0} \right )$

(13) $yy_{0}a^{2}-a^{2}y^{2}_{0}+b^{2}xx_{0}-b^{2}x_{0}^{2}=0$ ordinandola

(14) $b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y^{2}_{0}=0$ e sapendo dalla (3) che:

(15) $b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y^{2}_{0}=a^{2}b^{2}$

sostuendo la (15) nella (14) si ha:

(16) $b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-a^{2}b^{2}=0$

adesso dividendo entrambi membri per $a^{2}b^{2}$

ho proprio la formula che cercavo ossia:

(17) $\cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1$

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2 risposte a Ellisse: formula di sdoppiamento

Claudio scrive:

23 Novembre 2018 alle 07:09

Hai dimostrato che quella retta passa per P.
Non mi pare che abbia dimostrato che sia la retta tangente all’ellisse

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- Francesco Bragadin scrive:
  
  26 Novembre 2018 alle 09:44
  
  Grazie per la riflessione. In realtà si pone l’appartenenza sia alla retta che all’ellisse. Se ci fossero più punti avremmo equazioni di secondo grado ma non è così.
  
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