Studio di funzione es – 16 –

Pubblicato il 6 Giugno 2012 da admin

Renè Magritte – Le passeggiate d’Euclide – 1955

16) $y=\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}$

-a- Dominio della funzione:

Essendo una funzione frazionaria i punti in cui non è definita la funzione sono quelli che annullano il denominatore:

$4x^{2}+4=0$

$x^{2}=-1$

che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

$D=\left\{ \forall x\epsilon Re\right\}$

-b- Segno della funzione

N: $2-2x>0$

$x<1$

D: è sempre positivo

Quindi la y è positiva per i valori di x minori di 1.

-c- Limiti

Non ci sono limiti verticali proprio per il Dominio

Cerco il limiti orizzontali:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0$

$\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x}=0$

Quindi si ha un limite orizzontale

Verifico la presenza o meno del limite obliquo:

$\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}\cdot\cfrac{1}{x}=D.L'H.=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{-2}{8x+4}=0$

non si ha limite obliquo

d) Massimi o minimi

$y'=\cfrac{-2(4x^{2}+4)-(8x)(2-2x)}{(4x^{2}+4)^{2}}=\cfrac{8x^{2}-16x-8}{idem}$

lo annullo per verificare la presenza di massimi o minimi relativi.

$8x^{2}-16x-8=0$

Divido per 8 e risulta:

$x^{2}-2x-1=0$

$x_{1,2}=\cfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\cfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}$

Approssimo le relative soluzioni:

$x_{1}=-0,41$ e $x_{2}=2,41$

Studio la disequazione:

$x^{2}-2x-1>0$ per capire quale dei due è il punto di massimo e di minimo:

quindi:

$x_{1}=-0,41$ è il punto di MASSIMO

$x_{2}=2,41$ è il punto di minimo

Per trovare la relativa ordinata si sostituiscono all’equazione di partenza (16)

e si trova:

$M(-0,41;0,60)$ e $m(2,41;-0,10)$

e) Intersezioni

Pongo $x=0$ e trovo $y=0,5$

Pongo $y=0$ e trovo $x=1$

f) grafico

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