Esercizi sui massimi e minimi

Jim Warren

Jim Warren

Per determinare i massimi o i minimi di una funzione si deve:

come premessa sempre prima determinare il dominio della funzione perché potrebbe capitare di trovare un massimo o un minimo ed essere escluso perché all'esterno del dominio.

  • calcolare la derivata prima
  • porre a zero la derivata prima per trovare i punti stazionari.
  • studiare il segno della derivata prima
  • se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente altrimenti crescente
  • determinati i punti di minimo o massimo si sostituiscono nella funzione di partenza e NON nella derivata prima (ovviamente perché se si facesse di troverebbe 0!) e si trova la relativa ordinata.

Esercizi per un livello base:

6.1. y=x^3-3x^2+1 \left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]
6.2. y=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{2}{3}x^{3} \left [ x_{m}=2 \right ]
6.3. y=x^{3}-2x^{2}+x-4 \left [ x_{m}=1; x_{M}=\cfrac{1}{3}\right ]
6.4. y=x^{4}+2x \left [ x_{m}=-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ]
 6.5. y=\cfrac{1}{5}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{3} nessun punto di max o min
6.6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x-2 \left [ x_{M}=1;x_{m}=3 \right ]
6.7. y=6x^{5}-10x^{3} \left [ x_{M}=-1;x_{m}=1 \right ]
6.8. y=\cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+1 \left [ x_{m}=6 \right ]
6.9. y=x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}-1 \left [\left x_{m}=-2;x_{m}=1;x_{M}=0 \right ]

Esercizi per un livello discreto

7.1.  y=\cfrac{x^3}{3}-x^{2}+x nessun punto di max o min
7.2. y=\cfrac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )^{2}} \left [ x_{m}=3 \right ]
7.3. y=\cfrac{1}{x^{2}-4} \left [ x_{M}=0 \right ]
7.4. y=\cfrac{x^2-x-1}{x^{2}-x+1} \left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]
 7.5. y=\cfrac{1}{x^{2}+4}  \left ( x_{M}=0 \right )
7.6. y=\cfrac{2x^{2}}{x-1}  \left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]
7.7. y=\cfrac{1}{x^{2}-3x+2} \left [ x_{M}=\cfrac{3}{2} \right ]
7.8. y=\cfrac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}-3x+1} \left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]
7.8. y=\cfrac{-x^{2}+3x}{2x-8} \left [ x_{m}=2;x_{M}=6 \right ]
7.9. y=\cfrac{x-3}{\left ( x-2 \right )^{3}} \left [ x_{M}=\cfrac{7}{2} \right ]
7.10. y=\cfrac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}} \left [ x_{m}=2 \right ]

Per un livello buono

8.1. y=x^{3}e^{x} \left [ x_{m}=-3 \right ]
8.2. y=\ln x-x \left [ x_{M}=1 \right ]
8.3. y=x\ln x  \left [ x_{m}=\cfrac{1}{e} \right ]
8.4. y=e^{x}-x  \left [ x_{m}=0 \right ]
8.5. y=\cfrac{x^{3}}{3}e^{-x}  \left [ x_{M}= 0\right ]
8.6. y=\cfrac{x^{2}-4}{4\left ( x^{2}-1 \right )} \left [ x_{m}=0 \right ]

Per un livello quasi ottimo

 9.1. y=2x^{2}\ln x  \left [ x_{m}=\cfrac{1}{\sqrt{e}} \right ]
9.2. y=\sqrt[3]{x^{2}}-x \left [ x_{m}=0-;x_{M}=\cfrac{8}{27} \right ]
9.3. y=\sqrt[3]{x^{5}-x^{2}} \left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]
9.4. y=\sqrt[3]{\left ( x-1 \right )^{2}} \left [ x_{m}=1 \right ]
9.5. y=\sqrt[5]{x^{2}} \left [ x_{m}=0 \right ]
9.6. y=\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left ( 1-2x \right ^{2})} \left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]

Per muoversi con sicurezza

10.1.  y=e^{\frac{2x^{2}}{x-1}}  \left [ x_{M=0};x_{m}=2 \right ]
10.2. 1+\sqrt[3]{\left ( x+3 \right )^{2}} \left [ x_{m}=-3 \right ]
10.3. y=2x\sqrt{x+1} \left [ x_{M}=-1;x_{m}=-\cfrac{2}{3} \right ]
10.4. y=\ln \cfrac{x-1}{x+3} \left [ x_{m}=-6;x_{M} =-4\right ]

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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