SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

I limiti: introduzione

Pubblicato il 23 Aprile 2012 da admin

Enrico Prampolini

Il concetto di limite è fondamentale per capire verso quale valore tende una funzione. In particolare mi interessa dettare delle regole pratiche per poterne fare un protocollo di attuazione immediata:

Ecco la sua forma più semplice ed immediata:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Come si legge?

Il limite per $x$ che tende a $x_{0}$ di $f(x)$ vale $f(x_{0})$ .

Ho sostituito il valore a cui tende la $x$ nella funzione di partenza.

es.1

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}(3x+1)=3 \cdot 2+1=7$

In questo caso il valore a cui tende la funzione coincide con il valore stesso della funzione in quel punto. Sembra una tautologia ma in realtà non è così: sia che ci si avvicini da destra che da sinistra a quel punto, il risultato non cambia.

Il concetto di limite destro e sinistro è fondamentale nello studio di funzione: a seconda che ci si avvicini da sinistra o da destra il valore della funzione potrebbe assumere dei valori diversi.

REGOLA PRATICA

Per sviluppare un limite la prima operazione è proprio quella di sostituire il valore a cui tende la $x$ alla funzione.

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Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione: problema 3

Pubblicato il 20 Aprile 2012 da admin

Fortunato Depero

3) Dato $alpha;beta$ che appartengono al primo quadrante e che:

$tanalpha=cfrac{1}{2}$

$cothbeta=3$

Dimostrare che:

$alpha+beta=cfrac{pi}{4}$

Sviluppo

(1) $alpha=cfrac{pi}{4}-beta$

$cothbeta=cfrac{cosbeta}{sinbeta}=3$ ossia

(2) $cosbeta=3cdotsinbeta$

Adesso utilizzo la (1)

$tanalpha=cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{sinleft(cfrac[l]{pi}{4}-betaright)}{cosleft(cfrac{pi}{4}-betaright)}=cfrac{sincfrac{pi}{4}cosbeta-sinbetacoscfrac{pi}{4}}{coscfrac{pi}{4}cosbeta+sincfrac{pi}{4}sinbeta}=cfrac{1}{2}$

quindi utilizzando anche la (2) e sviluppando il seno di 45° ed il coseno di 45° ho:

$cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta-sinbetacfrac{sqrt{2}}{2}}{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta+cfrac{sqrt{2}}{2}sinbeta}=cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta-sinbetaright)}{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta+sinbetaright)}=cfrac{3-1}{3+1}=cfrac{2}{4}=cfrac{1}{2}$

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Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 2)

Pubblicato il 20 Aprile 2012 da admin

Gino Severini

2) Dato un triangolo i cui angoli $alpha;beta;gamma$ seguono le seguenti relazioni:

$cosalpha=cfrac{12}{13}$

$cosbeta=cfrac{4}{5}$

dire se tale triangolo è acutangolo o ottusangolo e determinare $tangamma$ .

Sviluppo

Un triangolo si dice acutangolo quando ha tutti e tre gli angoli minori di 90°.

Un triangolo si dice ottusangolo quando un angolo è ottuso ossia maggiore di 90°.

Nel caso specifico $cosalpha$ è positivo per cui $0<alpha<cfrac{pi}{2}$ non potrà mai essere tra $cfrac{3}{2}pi<alpha<2pi$ perchè la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.

Lo stesso ragionamento vale per $cosbeta$ .

Quindi $0<alpha;beta<cfrac{pi}{2}$ e non si può ancora dire se il terzo angolo sia maggiore o minore di 90° condizione che ci fa affermare se avere un acutangolo o un ottusangolo.

Allora, sempre per la relazione fondamentale che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, $gamma=pi-(alpha+beta)$ .

(1) $tanleft[pi-(alpha+beta)right]=-tanleft(alpha+betaright)=cfrac{sinalphacosbeta+sinbetacosalpha}{sinalphasinbeta-cosalphacosbeta}$

Adesso ho:

(2) $sinalpha=pmsqrt{1-left(cfrac{12}{13}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{144}{169}}=pmcfrac{5}{13}$

prendo il valore positivo in quanto $0<alpha<cfrac{pi}{2}$ .

(3) $sinbeta=pmsqrt{1-left(cfrac{4}{5}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{16}{25}}=pmcfrac{3}{5}$

prendo il valore positivo in quanto $0<beta<cfrac{pi}{2}$ .

Adesso sostituisco i valori dati dal problema e la (2) e la (3) nella (1) e risulta:

$tangamma=cfrac{cfrac{5}{13}cdotcfrac{4}{5}+cfrac{3}{5}cdotcfrac{12}{13}}{cfrac{5}{13}cdotcfrac{3}{5}-cfrac{12}{13}cdotcfrac{4}{5}}=-cfrac{56}{33}$

La tangente assume un valore negativo tra $cfrac{pi}{2}<gamma<cfrac{3}{2}pi$

per cui alla fine mi troverò un ottusangolo!

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Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 1)

Pubblicato il 20 Aprile 2012 da admin

Fortunato Depero

1) Dato un triangolo i cui angoli ( $alpha;beta;gamma$ ) seguono le seguenti relazioni:

$cosalpha=-cfrac{1}{sqrt{3}}$ con $2pi<alpha<cfrac{pi}{2}$

$cosbeta=cfrac{5}{6}$ con $0<beta<cfrac{pi}{2}$

Determinare il $singamma$ .

Sviluppo:

$alpha+beta+gamma=pi$ ossia

$gamma=pi-(alpha+beta)$

devo determinare:

(1) $singamma=sinleft[pi-(alpha+beta)right]=sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta$

in cui ho utilizzato le formule di addizione.

siccome in trigonometria vale la relazione fondamentale che è la diretta conseguenza del teorema di Piragora:

$sin^{2}alpha+cos^{2}alpha=1$

allora

$sinalpha=pmsqrt{1-cos^{2}alpha}=pmsqrt{1-left(-cfrac{1}{sqrt{3}}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{1}{3}}=pmsqrt{cfrac{2}{3}}$

devo prendere il segno positivo o negativo?

Siccome il $sinalpha$ è positivo per $2pi<alpha<cfrac{pi}{2}$ allora prendo il segno positivo ed ho quindi:

(2) $sinalpha=sqrt{cfrac{2}{3}}$

In maniera analoga ho:

$sinbeta=pmsqrt{1-left(cfrac{5}{6}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{25}{36}}=pmsqrt{cfrac{11}{36}}=pmcfrac{sqrt{11}}{6}$

Prendo il segno positivo perchè $sinbeta$ è positivo per $0<beta<cfrac{pi}{2}$

quindi:

(3) $sinbeta=cfrac{sqrt{11}}{6}$

Adesso sostituisco la (2) e la (3) nella (1) prendendo anche i dati di partenza e risulta:

$sqrt{cfrac{2}{3}}cdotcfrac{5}{6}-cfrac{sqrt{11}}{6}cdotcfrac{1}{sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}$

razionalizzando (ossia moltiplicando per $sqrt{3}$ sia il numeratore che il denominatore) il risultato conclusivo diventa:

$cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{6}-sqrt{33}}{18}$

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Il triangolo di Tartaglia

Pubblicato il 19 Aprile 2012 da admin

Il triangolo di Tartaglia rimane una pietra miliare che indica il passaggio dai più conosciuti prodotti notevoli a quelli meno usati.

Tale post è stato richiesto da un alunno (A.M.O.) che si chiedeva perchè non si potessero avere i prodotti successivi!

Propedeutico è esplicitare tutti gli esponenti dei binomi per apprezzare compeltamente la schematizzazione.

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}b^{0}+2a^{1}b^{1}+a^{0}b^{2}$

$\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}b^{0}+3a^{2}b^{1}+3a^{1}b^{2}+a^{0}b^{3}$

adesso se si vuole scrivere l’elevamento a potenza successivo è indispensabile avere il triangolo di Tartaglia:

_______ $1$ –> $\left ( a+b \right )^{1}$

______ $1- 2- 1$ –> $\left ( a+b \right )^{2}$

_____ $1-3- 3- 1$ –> $\left ( a+b \right )^{3}$

____ $1 -4- 6- 4- 1$ –> $\left( a+b \right )^{4}$

___ $1 -5 -10- 10- 5- 1$ –> $\left( a+b \right )^{5}$

quindi la quarta riga mi fornisce:

$\left ( a+b \right )^{4}=a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+a^{0}b^{4}$

Come si crea il triangolo di Tartaglia?

Ad esempio nella quinta riga il 5 è dato dalla somma dell’1 e del 4 della riga precedente.

Il 10 è dato dalla somma del 4 e del 6 della riga precedente e così via.

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Trigonometria: gli angoli fondamentali – le formule di addizione

Pubblicato il 18 Aprile 2012 da admin

Rene Magritte - Il mistero della natura

Osservando il grafico presente nel post precedente si possono evincere gli angoli fondamentali:

Attenzione però alla seguente notazione:

$cfrac{pi}{2}=90^{0}$

$pi=180^{0}$

$cfrac{3}{2}pi=270^{0}$

$2pi=360^{0}$

In trigonometria si utilizza sempre tale notazione per indicare il valore degli angoli.

DA IMPARARE

$sin(0)=0$

$sinleft(cfrac{pi}{6}right)=cfrac{1}{2}$

$sinleft(cfrac{pi}{4}right)=cfrac{sqrt{2}}{2}$

$sinleft(cfrac{pi}{3}right)=cfrac{sqrt{3}}{2}$

$sinleft(cfrac{pi}{2}right)=1$

$sin(pi)=0$

$sinleft(cfrac{3}{2}piright)=-1$

$sinleft(2piright)=0$

In maniera analoga le seguenti:

$cos(0)=1$

$cosleft(cfrac{pi}{6}right)=cfrac{sqrt{3}}{2}$

$cosleft(cfrac{pi}{4}right)=cfrac{sqrt{2}}{2}$

$cosleft(cfrac{pi}{3}right)=cfrac{{1}{2}$

$cosleft(cfrac{pi}{2}right)=0$

$cos(pi)=-1$

$cosleft(cfrac{3}{2}piright)=0$

$cosleft(2piright)=1$

Le formule di addizione permettono lo svolgimento di molti problemi; eccole!

$sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta$

$cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta$

Dalla circonferenza goniometrica e dalle formule precedenti posso trovare le seguenti relazioni:

$sinleft(cfrac{pi}{2}-alpharight)=cosalpha$

$sinleft(cfrac{pi}{2}+alpharight)=cosalpha$

$cosleft(cfrac{pi}{2}-alpharight)=sinalpha$

$cosleft(cfrac{pi}{2}+alpharight)=-sinalpha$

$sinleft(pi-alpharight)=sinalpha$

$sinleft(pi+alpharight)=-sinalpha$

$cosleft(pi-alpharight)=-cosalpha$

$cosleft(pi+alpharight)=-cosalpha$

$sinleft(2pi-alpharight)=-sinalpha$

$cosleft(2pi-alpharight)=cosalpha$

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Trigonometria: i primi passi

Pubblicato il 18 Aprile 2012 da admin

La trigonometria mette in relazione il valore degli angoli di un triangolo rettangolo con i lati.

Le sue applicazioni si possono trovare in astronomia, in fisica, in geologia ed anche nella musica.

Tolomeo è stato il primo a trattare la materia in maniera formale applicandola allo studio teorico della geometria e di tutti i poligoni inscritti in una circonferenza.

Data la seguente figura:

Le relazione che lega il valore dell’angolo al lato è la seguente:

$BC=AC \cdot sin(\alpha)$

$AB=AC \cdot cos(\alpha)$

un’ulteriore funzione è la seguente:

$\cfrac{BC}{AB}=\cfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=tan(\alpha)$

A questo punto per meglio immaginare cosa sono il seno ed il coseno è corretto rappresentarli sul piano cartesiano

$y=sin(x)$

$y=cos(x)$

$y=$ y=tan(x)$

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Derivata: massimi e minimi relativi

Pubblicato il 13 Aprile 2012 da admin

Carnevale-di-Arlecchino-Joan-Miro-1925 Una volta che si riesce a calcolare la derivata prima di una funzione si può cominciare ad intuire come potrà essere il suo grafico. In particolare siccome la derivata prima fornisce il valore dell’inclinazione della curva tangente si può capire che quando essa si annulla la relativa retta è orizzontale.

A questo punto posso, studiando il segno della derivata prima capire quando cresce e quando decresce la funzione.

Partendo dall’esempio più banale che possa esserci cerco di chiarire il concetto.

Sia $f(x)=x^{2}-3x+2$ .

Calcolo la derivata prima:

$f'(x)=2x-3$

Il punto in cui si annulla si ottiene annullando la derivata prima:

$2x-3=0$

ossia

$x=\cfrac{3}{2}$

Esso è un punto di massimo o minimo?

Risolvo la disequazione

$2x-3>0$

Essa è positiva per

$x>\cfrac{3}{2}$

E’ facilmente dimostrabile che quando la derivata prima è negativa la funzione è decrescente e quando la derivata prima è positiva è crescente.

Per cui la mia funzione di partenza (parabola) è:

decrescente per $x<\cfrac{3}{2}$
crescente per $x>\cfrac{3}{2}$
$x=\cfrac{3}{2}$ è il punto di minimo (in questo caso anche assoluto della funzione).

Per trovare il valore della relativa ordinata del punto di minimo si sostituisce alla funzione di partenza il valore trovato:

$f\left ( \cfrac{3}{2} \right )= \left ( \cfrac{3}{2} \right )^{2}-3\cdot \cfrac{3}{2} +2=-\cfrac{1}{4}$

Ossia il punto di minimo ha coordinate:

$min\left ( \cfrac{3}{4};-\cfrac{1}{4} \right )$

Il grafico della funzione è:

parabola

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Prodotti notevoli: il quadrato di un trinomio

Pubblicato il 12 Aprile 2012 da admin

Si sviluppino i seguenti quadrati di trinomi

$(3a+2b+c)^{2}$

$(a-3b+4c)^{2}$

$(4a^{2}-3ab+b^{2})^{2}$

$(-3a^{2}+2a-1)^{2}$

$(-a^{2}-b^{2}-2)^{2}$

$(x^{3}y-3xy^{2}+1)^{2}$

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I monomi e polinomi: esercizi sul quadrato del binomio

Pubblicato il 12 Aprile 2012 da admin

Si calcolino i seguenti quadrati di binomi

$(3x+y)^{2}$ .

$(5a+7b)^{2}$ .

$(2ab+3)^{2}$ .

$(x-3y)^{2}$ .

$(6a-2b)^{2}$ .

$(2+3ab)^{2}$ .

$(-x+y^{2})^{2}$ .

$\left ( \cfrac{1}{2}x^{2}y+xy^{2} \right )^{2}$ .

$\left ( -2a-\cfrac{1}{3}b \right )^{2}$ .

$\left ( -\cfrac{3}{2}a^{2}b+4b^{2} \right )^{2}$ .

$\left ( -\cfrac{1}{2}x^{3}-2y^{3} \right )^{2}$ .

$(b^{5}+2b)^{2}$ .

$(-x+x^{0}y)^{2}$ .

$\left ( \cfrac{2}{7}+\cfrac{3}{4}x \right )^{2}$ .

$(a^{6}-b^{6})^{2}$ .

$\left ( -2a-\cfrac{4}{5}b \right )^{2}$ .

$\left ( 1,2a^{2}b^{2}-\cfrac{3}{5}ab \right )^{2}$ .

$\left ( \cfrac{a^{2}}{4}+\cfrac{1}{2} \right )^{2}$ .

$(3-x^{4})^{2}$ .

Correggi gli errori nei seguenti esercizi

$(2x+y)^{2}=4x^{2}+y^{2}$ .

$(2x^{3}-a)^{2}=9x^{9}-6ax^{3}+a^{2}$ .

$\left ( \cfrac{3}{2}xy-\cfrac{1}{2}x^{2} \right )^{2}=\cfrac{9}{4}x^{2}y^{2}+\cfrac{1}{4}x^{4}-\cfrac{3}{4}x^{3}y$ .

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I limiti: introduzione

Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione: problema 3

Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 2)

Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 1)

Il triangolo di Tartaglia

Trigonometria: gli angoli fondamentali – le formule di addizione

Trigonometria: i primi passi

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