SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Dominio di una funzione

Pubblicato il 27 Gennaio 2016 da admin

img_5536_1251034607 La definizione formale di dominio di una funzione è:

insieme dei valori possibili che la variabile indipendente x può assumere, in modo che la funzione sia definita in tali valori.

In molti anni che insegno ho adottato questa definizione:

insieme dei valori di x per i quali posso DISEGNARE la funzione.

Questa definizione, indubbiamente molto spartana, mi ha consentito di poter far capire perché dal dominio devono essere esclusi quei punti in cui la funzione presenta un asintoto.

Infatti se si pensa, l’infinito non si può disegnare e quando una funzione tende all’infinito per un particolare punto, non può essere disegnata per cui tale punto deve essere escluso dal dominio stesso!

Ecco i domini delle funzioni più comuni:

Funzione polinomiale

La retta è una funzione polinomiale y=3x+5 il cui grafico è:

retta

si nota dal grafico che il disegno esiste per ogni valore di x e si scrive:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

La parabola è una funzione polinomiale:

$y=x^{2}-5x+6$

il cui grafico è:

parabola ed il dominio è:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Generalizzando

tutte le funzioni del tipo:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}$

hanno dominio:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Funzione frazionaria

Ecco il grafico di una funzione frazionaria: grafico 1 si noti subito che nell’intorno del numero 3 la funzione si avvicina sempre più al 3 (asintoto verticale) senza mai toccarlo.

La funzione frazionaria ha al numeratore un polinomio ed al denominatore un altro polinomio.

Il grafico precedente ha equazione:

$y=\cfrac{x-2}{x-3}$

e per determinare il dominio devo escludere i valori che annullano il denominatore ossia risolvere questa diseguaglianza:

$x-3\neq 0$

ossia

$x\neq 3$

il dominio diventa:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq 3\right \}$

generalizzando:

Si devono trovare i valori che annullano il denominatore.

$y=\cfrac{a_{n}x^{x}+...+a_{0}}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot ...\cdot (x-x_{n})}$

i valori che annullano il denominatore sono:

$x_{1},x^{2},...,x_{n}$

il dominio diventa quindi:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq x_{1},x\neq x_{2},...,x\neq x_{n}\right \}$

Funzione irrazionale

Ecco la rappresentazione sul piano cartesiano di una funzione irrazionale:

irrazionale essa ha come equazione:

$y=\sqrt{x-1}$

per studiare il dominio bisogna porre l’argomento della radice quadrata sempre strettamente maggiore di zero.

Ossia

$x-1\geq 0$

Il dominio diventa:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x \geq 1\right \}$

generalizzando; data la funzione:

$y=\sqrt[n]{A(x)}$

con n pari, bisogna studiare il segno dell’argomento ossia porre:

$A(x)\geqslant 0$

il dominio diventa quindi:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x) \geq 0\right \}$

Funzione esponenziale

Ecco la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale:

esponenziale la cui equazione è:

$y=e^{x}$

il cui dominio coincide con le funzioni polinomiali ossia:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

generalizzando:

$y=a^{A(x)}$ con

A(x) una funzione polinomiale

Si ha quindi sempre come dominio:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Funzione logaritmica

Ecco il grafico:

logaritmic che ha equazione:

$y=\ln (x+1)$

e per determinare il suo dominio devo prendere l’argomento e porlo maggiore di 0:

$x+1>0\Rightarrow x>-1$

Quindi il dominio si scrive:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x>-1\right \}$

generalizzando:

$y=\ln (A(x))$

bisogna porre sempre l’argomento maggiore di zero (non anche uguale a zero perché in 0 il logaritmo ha un asintoto verticale).

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x)>0\right \}$

Combinazione delle funzioni precedenti

Per studiare il dominio dato dalla combinazione di una delle precedenti funzioni bisogna impostare un sistema di disequazioni o diseguaglianze e come soluzione si ha quell’insieme di valori che vanno bene a tutti.

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Applicare i sistemi ad un problema

Pubblicato il 26 Gennaio 2016 da admin

untitled Questo problema è stato tratto da La settimana Enigmistica del 24 dicembre 2015 quesito 7063 e dato alla verifica sui sistemi d’equazione alle classi di seconda superiore il 13 gennaio 2016.

“Biagio, Fulvio e Giacomo sono tre studenti universitari di matematica. Per raggranellare qualche soldo, nel mese di dicembre, si sono ritrovati a lavorare in un grande magazzino, nel reparto degli addobbi natalizi. Forti della loro padronanza dei numeri, a volte si divertivano a mettere qualcuno in difficoltà. Così, a un signore troppo pignolo,

Biagio ha risposto: “Si, 7 palline e 5 stelle costano come 6 angioletti”
Fulvio ha rincarato: “Oppure, se vuole, 4 palline più 9 angioletti hanno lo stesso prezzo di 5 stelle”.
Giacomo interviene: “E 6 angioletti e 3 stelle valgono come 4 palline

Ma quando il cliente, frastornato, è giunto alla cassa, si è scoperto che uno di loro aveva mentito mentre gli altri due avevano dato informazioni corrette.

Chi ha dato informazioni errate?

Soluzione:

Si imposta un sistema di equazione con

p palline

a angioletti

s stelle

$\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s=6a \\ 4p+9a=5s \\ 6a+3s=4p \end{array} \right.$

Adesso li ordino ed ho:

$\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s-6a=0 \\ 4p-5s+9a=0 \\ -4p +3s +6a= 0\end{array} \right.$

Suppongo che le prime due ossia Biagio e Fulvio abbiano detto la verità e le sommo:

$\cfrac{+\left\{ \begin{array}{c} 7p+5s-6a=0 \\ 4p-5s+9a=0 \end{array} \right.}{11p+//+3a=0}$

che risolta dà:

$p=-\cfrac{3}{11}a$

che è impossibile in quanto le palline non possono dare un costo negativo.

Per cui o Biagio o Fulvio ha detto il falso!

Adesso sommo Fulvio e Giacomo

$\cfrac{+\left\{ \begin{array}{c} 4p-5s+9a=0 \\ -4p+3s+6a=0 \end{array} \right.}{//-2s+15a=0}$

ossia

$s=\cfrac{15}{2}a$

che è possibile.

Per cui chi dice il falso è Biagio.

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INVALSI ON LINE – Quiz geometria

Pubblicato il 22 Gennaio 2016 da admin

Sergey Tyukanov

[WpProQuiz 8]

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INVALSI ON LINE – Quiz disequazioni

Pubblicato il 22 Gennaio 2016 da admin

Arte-Pinturas-Surrealismo-Salvador-Dali-13 [WpProQuiz 7]

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INVALSI – ON LINE – Quiz percentuali, statistica, probabilità

Pubblicato il 14 Gennaio 2016 da admin

thELPTOAWT [WpProQuiz 6]

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Proprietà dei logaritmi

Pubblicato il 12 Gennaio 2016 da admin

$\log_{a}a=1$
$\log_{a}1=0$
$\log_{a}b+\log _{a}c=\log _{a}(b\cdot c)$
$\log_{a}b-\log _{a}c=\log _{a}\left ( \cfrac{b}{c} \right )$
$b\log _{a}c=\log _{a}c^{b}$
$\log _{a}b=\cfrac{\log _{c}b}{\log _{c}a}$

Esempi sulle precedenti proprietà

$\log _{5}5=1$
$\log _{5}1=0$
$\log _{3}5+\log _{3}8=\log_{3}40$
$\log _{3}10+\log _{3}2=\log_{3}5$
$4\log _{3}2=\log_{3}2^{4}=\log _{3}16$
$\log _{5}3=\cfrac{\log _{10}3}{\log _{10}5}$

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Esercizi sulla determinazione dei massimi e minimi

Pubblicato il 11 Gennaio 2016 da admin

Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

$y=2x^{3}-15x^{2}+24x$

nell’intervallo chiuso

$\left [ 1;5 \right ]$

soluzione

2. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione

$f(x)=\cfrac{e^{-x}}{x}$

nell’intervallo

$\left [ -2;-\cfrac{1}{2} \right ]$

soluzione

3. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

$f(x)=x\cdot \ln x$

nell’intervallo:

$\left [ \cfrac{1}{e^{2}};e \right ]$

soluzione

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INVALSI ON LINE – Quiz di logica e calcoli

Pubblicato il 3 Gennaio 2016 da admin

th9AD4KUZ9 [WpProQuiz 5]

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Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Pubblicato il 1 Gennaio 2016 da admin

Data la funzione:

$f(x)=a\cdot \log_{2} \left ( x+b \right )$

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x$

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1) $a\cdot \log _{2}b=0$

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2) $a\cdot \log _{2}\left ( 3+b \right )=4$

analizzando la (1)

$a\neq 0$

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

$\log _{2}b=0$

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

$2^{0}=b$

che fornisce il valore

$b=1$ .

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

$a\cdot \log _{2}4=4$

$\log _{2}4=2$ .

$2a=4$ .

$a=2$ .

la funzione di partenza diventa:

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

b) Per rappresentare la funzione

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

$f(x)=\log _{2}x$

che è:

” width=”1341″ height=”1034″ />

La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

$f(x)=2\cdot \log _{2}x$

grafico logaritmo2

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

grafico logaritmo3

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x$ .

$\log _{\frac{1}{2}}x=\cfrac{\log _{2}x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=\cfrac{\log _{2}x}{-1}=-\log _{2}x$

che diventa:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3+\log _{2}x$ .

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

$\left\{ \begin{array}{c} x+1>0 \\ x>0 \end{array} \right.$

che mi dà come soluzione

$x>0$

torno alla disequazione che diventa:

$\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}2^{3}+\log _{2}x$ .

$\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}8x$

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

$x^{2}+2x+1-8x\geq 0$ .

$x^{2}-6x+1\geq 0$

Risolvo l’equazione associata:

$x_{1,2}=\cfrac{6\pm \sqrt{36-4}}{2}=\cfrac{6\pm \sqrt{32}}{2}=\cfrac{6\pm 4\sqrt{2}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}$ .

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

disequazione i punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

$x>0$

la soluzione della disequazione diventa:

$0<x\leq 3-2\sqrt{2}$

$x\geq 3+\sqrt{2}$ .

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

$y=2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )$

identificata con la linea rossa

e al funzione:

$y=3+\log_{2}x$

identificata con la linea blu. disequazione si nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.

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Disequazione logaritmica

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0$

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

$log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}$

ossia:

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}$