SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Il concetto di sconto, che comunemente si pensa, è quello associato al momento della contrattazione nell’acquisto di una merce; la domanda che si pone spesso al commerciante è: che sconto potrei avere?

La definizione, nel campo della matematica finanziaria, è leggermente diverso.

Nomenclatura indispensabile:

S = sconto

C = capitale o somma a scadenza

V = Valore attuale o somma percepita in questo momento.

In pratica si deve pensare sempre di essere in questa situazione:

Ho chiesto un prestito e devo restituire una certa somma (con un interesse); mi trovo nella condizione di poter restituire la somma subito e colui il quale mi ha prestato la cifra, l’avrà prima della scadenza. Sarebbe auspicabile che si concedesse uno sconto avendo avuto la cifra prima del tempo.

La formula che esprime questa situazione in maniera sintetica è:

S = C – V

Sconto è uguale al Capitale (futuro) a cui sottraggo il la cifra che adesso restituisco (valore attuale).

Si hanno tre tipi di sconto: sconto commerciale, sconto semplice e sconto composto.

Può capitare di avere come soluzione impossibile o indeterminata.

Cosa significa?

IMPOSSIBILE

E’ un qualcosa che non è possibile risolvere: sembra un gioco di parole. Se alla fine di un sistema d’equazioni mi trovo in una situazione:

7 = 3 è vero?

No è impossibile perchè 7 è sempre diverso da 3.

Ecco subito un esempio di un sistema IMPOSSIBILE:

Come si nota alla fine mi sono trovato nella condizione che 0 (zero) deve essere uguale a -11 ma è impossibile!

INDETERMINATO

E’ un qualcosa che non si può determinare ad esempio se vado a fare la spesa ed ho solo il totale della spesa fatta ma non il dettaglio dei singoli prodotti che ho acquistato, è indeterminato il loro costo.

Ad esempio, nel caso dei sistemi, quando mi trovo una sola equazione partendo da due o più (perchè una durante i passaggi intermedi si è completamente semplificata) allora mi troverò in una situazione indeterminata.

Ecco un esempio: si nota che un’equazione è diventata un’identità

Parto dallo stesso sistema

Esprimo tutto i funzione di x e si ha:

allora posso scrivere che

7 – y = 5 + y

in quanto le x devono avere lo stesso valore.

“porto” le y tutte dalla stessa parte

7 – 5 = y + y

2y = 2

y=1

Adesso sostituisco il valore trovato o nella prima o nella seconda (è uguale)

x = 7 – 1 = 6

oppure

x= 5+1=6

Devo risolvere il seguente sistema:

Si esprime la prima o la seconda equazione in funzione dell’altra variabile.

Decido di manipolare la prima equazione ed il sistema diventa:

Adesso la seconda equazione diventa:

Noto che nella seconda equazione ho solo un’incognita: la y.

quindi

Adesso sostituisco il valore trovato di y nella prima equazione ed ho:

Ed ecco le soluzioni:

.

I sistemi di equazione sono più utili di quanto si possa pensare per risolvere problemi di uso quotidiano.

Per farlo vi sono alcuni metodi; cercherò di spiegare quelli più comunemente usati.

Questa immagine rappresenta d’avvero quello che si può intendere per sistemi di equazione. Una mano non può esistere senza l’altra; è uguale a quello che capita con i sistemi di equazione di primo grado.

Espongo qua un problema che sarebbe ideale per i sistemi di disequazione ma che trova una prima applicazione anche nei sistemi di equazione lineare:

una persona noleggia un’auto e va in due agenzie di noleggio la A e la B con la seguente tariffa:

• A chiede una quota fissa di 45€ al giorno più 0,25€ per ogni chilometro percorso
• B chiede una quota fissa di 63€ al giorno più 0,18€ per ogni chilometro percorso.

Il problema che mi pongo è sicuramente qual è scelta migliore.

Un altro problema è tipico della settimana enigmistica ma potrebbe dare un senso a cimentarsi a risolvere un sistema di equazioni di primo grado:

Se Luigi desse a Carlo metà del suo denaro, Carlo avrebbe in totale la somma di 150€. Se invece fosse Carlo a dare a Luigi 1/3 di quanto ha, allora sarebbe Luigi ad avere la stessa somma. Quanto hanno Luigi e Carlo?

Adesso mi preme di dare delle tecniche di risoluzioni generali:

si danno dei nomi tanto per distinguerle: il metodo della sostituzione, quello dell’addizione, e quello del confronto. Quando affronterò lo studio dei punti in cui delle curve si toccano nello spazio si vedrà quanto utile è conoscere tali metodi.

Ecco il primo sistema semplice ma tanto per cominciare va bene:

METODO DELL’ADDIZIONE

Mi devo solo ricordare come faccio le somme in colonna. Unica avvertenza: incolonnare bene, prima le x poi le y e poi i numeri; importantissimo non sbagliare l’incolonnamento!

Lo scopo è quello di far sparire una delle due incognite o la x o la y:

Ritrovandomi l’equazione

che mi fornisce come soluzione

Nel caso in cui non fosse chiaro è sufficiente andare al post sulla risoluzione delle equazioni di primo grado (equazioni di primo grado). Trovata la x è sufficiente adesso sostituire il valore della x o nella prima o nella seconda equazione

Oppure si può trovare la y moltiplicando per -1 la seconda equazione trovandomi in questa situazione:

e risolvo la semplice equazione di primo grado:

che ha come soluzione

.

Fino ad ora ho citato solo l’interesse semplice. Per completare il discorso bisogna ribadire alcune cose e, naturalmente, anche le formule inverse che permettono di trovare tutto quello che si vuole a seconda dei campi di partenza.

M = montante

I = Interesse

C = Capitale

i = tasso d’interesse

t = tempo

(1) M = C + I

(2) C = M – I

(3) I = M – C

la (1) la si usa quando si ha il capitale e l’interesse e si deve trovare il montante.

la (2)  la si usa quando si ha il montante e l’interesse e si deve trovare il capitale.

la (3) nei casi opportuni.

l’Interesse è:

Per cui la (1) diventa:

Basta adesso fissare un capitale ed un tasso per rappresentare la relazione sul piano cartesiano.

Partendo da:

ho le seguenti formule inverse:

.

Nel precedente post, sempre nella categoria matematica finanziaria avevo accennato al fatto della necessità di normalizzare la data rispetto al tasso.

In particolare bisogna assolutamente prendere atto di questa banalissima tabella che è propedeutica per la normalizzazione della data:

1 anno = 360 giorni

N.B. 1 anno nell’ambito finanziario è formato da 360 giorni ed un mese da 30 giorni questo per calcolare sempre lo stesso importo a prescindere dal mese e dall’anno di riferimento.

1 giorno = 1/360 di anno

1 anno = 12 mesi

1 mese = 1/12 di anno

1 mese = 30 giorni

1 giorno = 1/30 di mese

Dati questi esempi posso normalizzare tutto rispetto l’anno:

6 mesi rispetto ad un anno cosa sono?

Se un mese è 1/12 di anno come già scritto allora:

6* 1/12 = 0,5 anni

cosa che si può capèire anche a livello puramente intuitivo.

Ora se ho 3 mesi e 15 giorni rispetto all’anno cosa sono?

3*1/12 + 15* 1/360 =  0,25 + 0,041 = 0,291 anni.

Perchè questo calcolo? Perchè il tasso d’interesse è sempre espresso rispetto all’anno.

Altri esempi?

3 anni e 4 mesi quanti anni sono?

3 + 4*1/12 = 3,33 anni!

Una delle prime cose che si studia sempre in matematica finanziaria è l’interesse semplice.

Il tutto nasce dal fatto che se si presta una cifra ad una persona essa dovrà restituire la stessa cifra insieme ad un’altra cifra. Quest’ultima cifra è come ritornare il favore fatto con qualcosa di tangibile.

In termini monetari e matematici si ha:

Tre grandezze fondamentali:

C prende sempre il nome di Capitale

i tasso di interesse, è un numero puro ossia senza unità di misura

t è il tempo.

In tutti gli esercizi il tassi di interesse i è sempre considerato in termini annuali ed il tempo, conseguentemente deve essere normalizzato all’anno. In un post opportuno cercherò sempre di spiegare nei particoalri cosa si intende per normalizzazione all’anno.

Subito un esempio:

C = 1500€; i = 0,06; t= 3 anni

applicando la regola precedente avrò

I = 270,00€ ossia 1500*0,06*3.

Naturalmente la cifrà che dovrò restituire sarà 1500 + 270 ossia 1770€ che prende il nome di montante