Soluzione esercizio 3 sulla retta tangente alla curva

Pubblicato il 15 Febbraio 2012 da admin

Pierre Auguste Renoir – “Barca sulla Senna”

Ecco nuovamente il testo del problema:

y=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+9x nel punto P(0;0)

1- verifico che il punto appartenga alla curva:

0=0^{4}-2\cdot0^{3}-6\cdot0^{2}+9\cdot0=0

risulta un’identità per cui il punto appartiene alla curva.

2- calcolo la derivata prima della curva.

y'=4x^{3}-2\cdot3x^{2}-6\cdot2x^{1}+9\cdot1x^{0}

sviluppando i calcoli

y'=4x^{3}-6x^{2}-12x+9

3- sostituisco l’ordinata del punto per trovare la m

m=9

l’equazione della retta tangente ha coefficiente angolare m=9 l’equazione della retta risulta

y=9x+q

Adesso sostituisco le coordinate del punto P

0=9\cdot0+q

risolvendola rispetto all’incognita q

q=0.

La retta tangente alla curva ha equazione:

y=9x.

Graficamente la situazione si presenta in questi termini:

 

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Soluzione esercizio 2 sulla retta tangente ad una curva

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

Fortunato Depero

Ecco nuovamente il testo del problema:

y=x^{3}-x^{2}-x nel punto P(1;-1)

Il primo passo è verificare l’appartenenza del punto P; sostituisco l’ascissa e l’ordinata del punto P alla curva data:

-1=1^{3}-1^{2}-1 sviluppando i calcoli ho:

-1=1-1-1 e  si ha l’identità -1=-1

A questo punto trovo la derivata prima della mia curva:

y'=3x^{2}-2x^{1}-1 o meglio:

y'=3x^{2}-2x-1

Adesso sostituisco alla x il valore dell’ascissa del punto P e si ha:

y'(1)=3-2-1=0=m

la retta tangente ha coefficiente angolare m=0

y=q

devo determinare q sostituendo le coordinate di P

-1=q

La retta tangente alla curva data è:

y=-1

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Esercizi sul volume dei solidi

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

1)   Dato una dimensione a=12m ed h= 12dm

Calcolare:

Volume:

– del cubo di lato a

– del cilindro di diametro a ed altezza h

– della sfera di diametro a

– piramide di base quadrata lato a ed altezza h

2) Dato il volume della sfera 1000m3 calcolare le tre dimensioni del parallelepipedo avendo un lato congruente con il raggio della sfera; lo stesso volume della sfera ed una dimensione è doppia dell’altra.

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Soluzione esercizio 1 sulla retta tangente ad una curva

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

Gino Severini

1) Il primo passo è verificare che il punto appartenga o meno alla curva fornita. Tale fatto fa sì che il problema si sviluppi utilizzando il significato geometrico della derivata o meno.

Nel caso specifico si nota che sostituendo alla x il valore 0 (zer0) ed alla y il valore 1 (uno) si ha:

1 = 0^{2}-0-1

ossia:

1=-1 che non essendo un’identità dimostra il fatto che il punto P non appartiene alla curva.

Non ha senso quindi calcolare la derivata prima della curva data.

Allora per determinare l’equazione della retta tangente eseguo i seguenti passi:

1.a) per determinare l’equazione delle rette passanti per il punto P  utilizzo la seguente forma:

y-y_{1}=m(x-x_{1})

nella quale sostituisco il valore dell’ordinata e dell’ascissa del punto P e diventa:

y-1 = m(x-0) ossia sviluppando i calcoli ho y-1=mx che mettendola in forma canonica diventa:

y=mx+1

ESSA RAPPRESENTA UN FASCIO DI RETTE (proprio) TUTTE PASSANTI PER IL PUNTO FORNITO

Adesso devo mettere in sistema la mia curva con il fascio di rette e PONENDO IL DETERMINANTE A ZERO trovo il valore di m delle rette tangenti alla curva data.

\{_{y=x^{2}-x-1}^{y=mx+1}&s=2

applico il metodo risolutivo del confronto (validissimo in questo caso e mi trovo la seguente equazione:

x^{2}-x-1=mx+1

quindi ordinandola rispetto alla x ho:

x^{2}-x-mx-1-1=0 adesso raggruppando la x e sommando i coefficienti senza x ho

x^{2}-x(1+m)-2=0

Adesso NON DEVO RISOLVERE L’EQUAZIONE MA PRENDERE SOLO IL DETERMINANTE

a = 1

b = 1+m

c= -2

ricordarsi che \Delta =b^{2}-4ac

per cui sostituendo ho: (1+m)^{2}-4(1)(-2) ossia 1+2m+m^{2}+8  che ordinandola per l’incognita m diventa:

m^{2}+2m+9=0

Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado

x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

si ha:

m_{1,2}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4-36}}{2}

e si nota subito che il determinante è più piccolo di zero.

Cosa significa? Che nessuna retta appartenente al fascio sarà MAI tangente alla curva data (in questo caso è una parabola).

Graficamente la soluzione appare immediata:

Ossia nessuna retta appartenente al fascio con centro in P(0;1) sarà mai tangente alla mia parabola.

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Soluzioni sulla verifica delle competenze sulle disequazioni

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin
Umberto Boccioni - 1911 - "Gli addii"

Umberto Boccioni - 1911 - "Gli addii"

1 . frac{(x-2)(x-3)}{(x+5)(x-7)}>0

A prescindere dal verso della disequazione, che in questo caso è >, i singoli binomi devono essere studiati separatamente.

NON SI DEVONO SVILUPPARE LE MOLTIPLICAZIONI

Ho quattro disequazioni:

1.1. x-2> 0

1.2. x-3> 0

1.3. x+5>0

1.4. x-7>0

la 1.1. diventa x>2

la 1.2. diventa x>3

la 1.3 diventa x>-5

la 1.4 diventa x>7

Adesso li rappresento tutti sulla retta delle soluzioni:

e quindi guardando il verso della disequazione (1) dovrò sempre valutare dov’è maggiore di zero.

x<-5 2<x<3 x>7

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Esercizi sulle disequazioni razionali

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – Autoritratto

Sviluppando i seguenti esercizi ci si può rendere conto del livello raggiunto.

1. \cfrac{(x-2)(x-3)}{(x+5)(x-7)}>0

2.(x-2)(x-3)(x+5)(x-7)>0

3.\cfrac{x}{5}+2x-\cfrac{5}{8}\cdot (x-4)>2

4.4(1+x)+3(3-2x)-3(2x+7)\geq 12(1-x)

5. \cfrac{x-1}{7}-2< \cfrac{x+1}{2}-\cfrac{7+2x}{14}

6. \cfrac{4x+1}{x+4}> \cfrac{4(x-1)}{(x+1)}

7. \cfrac{x+1}{x+3}+\cfrac{3-x}{x+5}\leq 0

8. \cfrac{2x-3}{x-2}<0

9.  \cfrac{x-2}{x+3}-\cfrac{1}{2}> 0

10. \cfrac{2x-3}{x+1}> 5

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Esercizi sulla determinazione della retta tangente ad una curva

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – 1912 – “Bambina che corre sul balcone”

Date le seguenti curve, determinare l’equazione della retta tangente passante per il punto specificato. Verificare che il punto dato appartenga alla curva. In caso contrario vedasi le soluzioni per determinare il corretto metodo da seguire.

1. y=x^{2}-x-1 nel punto P(0;1)  [soluzione]

2. y=x^{3}-x^{2}-x nel punto P(1;-1) [soluzione]

3. y=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+9x nel punto P(0;0) [soluzione]

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Il peso specifico

Pubblicato il 6 Febbraio 2012 da admin

Lyubov'Sergeevna Popova - 1915 - "Violino"

1) Qual è la massa in grammi di un corpo che ha il peso di 3,4N ?

2) Una ragazza entra in una salumeria e ordina “un newton di prosciutto”, tra lo stupore generale. Il salumiere, invece , non si scompone, e consegna circa un etto di prosciutto alla ragazza.

Sapresti determinare esattamente quanti grammi di prosciutto sono stati consegnati alla ragazza ?

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Soluzioni agli esercizi sulla derivata delle funzioni polinomiali e irrazionali

Pubblicato il 5 Febbraio 2012 da admin

Fortunato Depero

Queste sono le soluzioni agli esercizi precedenti:

1. y=x^{3}-2x^{2}-x

y'=3x^{2}-2\cdot2x^{1}-1x^{0}

e sviluppando le moltiplicazioni e sapendo che qualunque numero elevato alla zero dà o (zero) si ha:

y'=3x^{2}-2\cdot2x-1

2. y=7x^{5}-x^{4}-x^{2}

y'=35x^{4}-4x^{3}-2x^{1}

x elevato alla uno non si scrive per cui il risultato diventa:

y'=35x^{4}-4x^{3}-2x

3. y=8x^{3}-3x^{5}-6x^{7}+9x^{9}

y'=24x^{2}-15x^{4}-42x^{6}+81x^{8}

4. y=x^{-10}-3x^{-5}-7x^{-7}+8x^{-8}

A prescindere dal segno dell’esponente la regola può essere applicata pedissequamente:

y'=-10x^{-11}+15x^{-6}+49x^{-8}-64x^{-9}

E’ un uso comune non mantenere l’esponente della variabile negativa per cui la forma corretta è la seguente:

y'=-10\cfrac{1}{x^{11}}+15\cfrac{1}{x^{6}}+49\cfrac{1}{x^{8}}-64\cfrac{1}{x^{9}}

5. y=1000

y'=0

DA RICORDARSI SEMPRE CHE LA DERIVATA PRIMA DI UNA COSTANTE E’ SEMPRE ZERO

6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}

y'=\cfrac{1}{3}\cdot3\cdot x^{2}

che semplificando i 3 diventa semplicemente

y'= x^{2}

7. y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2x^{\frac{1}{2}}+5x^{\frac{1}{5}}

y'=x^{6}+x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{4}{5}}

che seguendo il consiglio precedente sarebbe meglio scriverla come:

y'=x^{6}+\frac{1}{x\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}

non è ancora corretta e quindi si esegue il seguente passo:

y'=x^{6}+\cfrac{1}{\sqrt{x}}+\cfrac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}

8. y=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

y'=10x^{9}+9x^{8}+8x^{7}+7x^{6}+6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1

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Esercizi: derivata di funzioni polinomiali e irrazionali

Pubblicato il 5 Febbraio 2012 da admin

Umberto Boccioni

Determinare la derivata prima delle seguenti funzioni polinomiali.

1. y=x^{3}-2x^{2}-x.

2. y=7x^{5}-x^{4}-x^{2}.

3. y=8x^{3}-3x^{5}-6x^{7}+9x^{9}.

4. y=x^{-10}-3x^{-5}-7x^{-7}+8x^{-8}.

5. y=1000.

6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}.

Questa è una funzione irrazionale considerando il fatto che vi è la radice

7.y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2x^{\frac{1}{2}}+5x^{\frac{1}{5}}.

la stessa funzione può essere scritta come:

y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2\sqrt{x}+5\sqrt[5]{x}.

8. y=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.

Provare a risolverle e poi eventualmente andare alle soluzioni.

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