Disequazione logaritmica

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0$

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

$log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}$

ossia:

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}$

e

$log_{a^{2}}\left (x-1 \right )=\cfrac{log_{10(x-1)}}{log_{10}a^{2}}=\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}$

e inserendoli in quella di partenza ho:

$-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}-\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}>0$

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

$\cfrac{-2log_{10}(x-1)-log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

la disequazione di partenza è diventata:

$\cfrac{-3log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

$x-1>0$

ossia

$x>1$

il dominio diventa:

$D:\left \{ \forall x\epsilon \in {R}\mid x>1 \right \}$

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

$2log_{10}a$ >0

E’ positivo per

$a>1$

Mentre è negativo per

$0<a<1$

Il numeratore:

$-3log_{10}(x-1)>0$

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

$0=log_{10}1$ e quindi diventa

$log_{10}(x-1)>log_{10}1$

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

$x-1>1$

quindi

$x>2$

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Immagine

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

$a>1$ il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

Immagine

e quindi la prima soluzione è:

Per $a>1$

$1<x<2$

Per $0<a<1$ il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

Immagine

ed ho la seconda soluzione:

Per $0<a<1$

$x>2$

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