[:it]Maturità 2017: quesito 5[:]

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Alex Alemany

Dati i punti $A(-2,3,1), B(3,0,-1), C(2,2,-3)$ , determinare l’equazione della retta $r$ passante per $A$ e per $B$ e l’equazione del piano $\pi$ perpendicolare ad $r$ e passante $C$ .

Prerequisiti

conoscere l’equazione della retta passante per due punti nello spazio
capire il significato dei coefficienti numerici della retta e di un piano
capire il significato di un punto appartenente ad una curva

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per due punti ha equazione:

(1) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{2}+\left ( x_{1}-x_{2} \right )t \\ y=y_{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )t\\ z=z_{2}+\left ( z_{1}-z_{2} \right )t \end{matrix}\right. \end{equation*}$

Applicandola al caso posto dal quesito, la retta passante per $A$ e per $B$ ha equazione:

(2) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=-2+5t \\ y=3-3t\\ z=1-2t \end{matrix}\right. \end{equation*}$

i coefficienti di $x$ (5), di $y$ (-3), di $z$ (-2), rappresentano le coordinate del vettore direzione $v(5,-3,-2)$ ossia quello parallelo alla retta.
L’equazione generale di un piano ha equazione: