Ellisse: esercizi per livelli

Jim Warren

Jim Warren

Ricapitolando.

Un'ellisse è caratterizzata dai sui vertici, dalle coordinate dei fuochi, dall'eccentricità.

Per poterla disegnare si annulla prima la x e si trovano le intersezioni con l'asse y e viceversa.

Rappresentare graficamente le seguenti ellissi, dopo aver determinato, di ciascuna di esse, le coordinate dei vertici, quelle dei fuochi e l'eccentricità.

Esercizi per un livello sufficiente (6):

6.1. \cfrac{x^2}{4}+y^2=1\
6.2. \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1
6.3. x^2+\cfrac{y^2}{9}=1
6.4. \cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{9}=1
6.5. Determina la misura degli assi dell'ellisse:

\cfrac{x^2}{36}+\cfrac{y^2}{9}=1

\left [ 12;6 \right ]
6.6.Determina le coordinate dei fuochi dell'ellisse: \cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{4}=1 \left [ \left ( \pm \sqrt{21},0 \right ) \right ]

Esercizi per un livello discreto (7):

7.1. x^2+4y^2=1
7.2. x^2+4y^2=4
7.3. 4x^2+9y^2=1
7.4. Determina la misura degli assi dell'ellisse:

3x^2+\cfrac{y^2}{9}=4

\left [ \cfrac{4}{\sqrt{3}};12 \right ]
7.5. Determina le cocordinate dei fuochi: 25x^2+4y^2=100 \left [ \left ( 0;\pm \sqrt{21} \right ) \right ]

Esercizi per un buon livello (8)

 8.1. 4x^2+9y^2=25
8.2. 9x^2+36y^2=25
8.3. 4x^2+\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{1}{4}
9.1. Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti tali che la somma delle distanze dai punti \left ( -6,0 \right ) e \left (6,0 \right ) è uguale a 20. \left [\cfrac{x^2}{100}+\cfrac{y^2}{64}=1  \right ]
9.2. Determina l'equazione del luogo geometrico dei punti tali che la somma delle distanze dai punti \left ( 0,-8 \right ) e \left (0,8 \right ) è uguale a 20. \left [\cfrac{x^2}{36}+\cfrac{y^2}{100}=1  \right ]

soluzioni

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Statistica descrittiva: variabilità (range, varianza, deviazione standard)

Rafel Olbinski

Rafal Olbinski

In assenza di variabilità, in una popolazione, la statistica non sarebbe necessaria: un singolo elemento o unità campionaria sarebbe sufficiente a determinare tutto ciò che occorre sapere su una popolazione.

Ne consegue, perciò, che nel presentare informazioni su un campione non è sufficiente fornire semplicemente una misura della media ma servono informazioni sulla variabilità.

Si considera la seguente tabella che mostra l'età di due gruppi

Soggetto I gruppo II gruppo
1 20 10
2 30 25
3 40 40
4 50 55
5 60 70
media 40 40

Si può subito notare che la media mi fornisce lo stesso valore, ma se suppongo di avere un ristorante e devo preparare dei menù, sapendo che hanno la stessa età media i due gruppi allora lo preparo uguale.

Sarebbe un grave errore se non prendessi in considerazione la variabilità. Infatti se nel primo gruppo potrebbe andare bene un menù per adulti nel secondo vi è un bambino a cui magari si dovrebbe adattarlo.

Allora si introducono tre misure di variabilità:

  • campo di variazione
  • varianza
  • deviazione standard

Il campo di variazione corrisponde alla differenza fra il valore più piccolo e quello più grande:

R=x_{max}-x_{min}

Il limite di tale valore è:

  • è influenzato dai valori estremi
  • tiene conto dei due soli valori estremi, trascurando tutti gli altri.

La varianza è data dalla somma dei quadrati degli scarti dalla media diviso per il numero degli elementi.

\sigma ^{2}=\cfrac{\sum_{i=1}^{N}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{N}

mentre  la deviazione standard è la radice quadrata della varianza ossia:

\sigma=\sqrt{\cfrac{\sum_{i=1}^{N}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}{N}}

La varianza mi fornisce un indice di dispersione dei dati rispetto alla media ed ha il vantaggio che, essendo un quadrato, non è influenzata da dati negativi che sommandosi si annullerebbero.

Lo svantaggio è che essendo un quadrato non presenta la stessa unità di misura dei dati per cui si preferisce sempre la sua radice quadrata che è appunto la deviazione standard.

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Esercizi sulle probabilità

Thomas Barbey

Thomas Barbey

Tutti questi problemi richiedono come conoscenza il concetto di probabilità come rapporto tra eventi favorevoli ed eventi probabili.

Per poterli risolvere bisogna prima sapere quanti sono gli eventi che si possono verificare, ad esempio il numero di palline all'interno di un cesto, il numero di studenti di una classe e poi contare quanti sono gli eventi che vogliamo sapere che possano accadere.

Ad esempio sapere qual è la probabilità che da un cesto di 100 palline possa estrarne 1 bianca sapendo che ve ne sono 40 di questo colore e le rimanenti di un altro, è un semplice rapporto ossia P(pallina bianca)=\cfrac{40}{100}

Esercizi per un livello base (6)

6.1. Lanciando due monete qual è la probabilità di ottenere due teste?  \left [ \cfrac{1}{4} \right ]
6.2. Vinco 1€ se nel lancio di un dado esce un numero superiore a 4. Quale probabilità ho di vincere?  \left [ \cfrac{1}{3} \right ]
6.3.  Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che escano due 3; che escano un 3 e un 4; che escano due numeri pari. \left [ \cfrac{1}{36};\cfrac{1}{18}; \cfrac{1}{4};\right ]
6.4. Un'urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Calcola la probabilità che una pallina estratta rechi un numero pari; un numero divisibile per 5; un numero divisibile per 6. \left [ \cfrac{1}{2};\cfrac{1}{5}; \cfrac{1}{25};\right ]
6.5. Calcola qual è la probabilità di estrarre da un'urna contenente 5 palline bianche, 8 nere, 10 rosse, 12 verdi, una pallina bianca; una pallina nera; una pallina rossa; una pallina verde; una pallina o bianca o nera; una pallina o bianca o verde. \left [ \cfrac{1}{7};\cfrac{8}{35};\cfrac{2}{7};\cfrac{12}{35};\cfrac{13}{35};\cfrac{17}{35} \right ]
6.6. Calcola la probabilità che lanciando una moneta esca testa. \left [ \cfrac{1}{2} \right ]
6.7. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca il numero 1. \left [ \cfrac{1}{6} \right ]
6.8. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero divisibile per 2. \left [ \cfrac{1}{2} \right ]
6.9. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero multiplo di 3. \left [ \cfrac{1}{3} \right ]

Esercizi più complessi (7):

 Da un'urna contenente 9 palline nere e 7 bianche si estraggono successivamente 3 palline, rimettendo ogni volta nell'urna la pallina estratta. Qual è la probabilità ceh siano tutte e 3 nere? Che siano tutte e tre bianche? Che siano le prime 2 bianche e la terza nera? Che siano 2 bianche e 1 nera?  \left [ \left ( \cfrac{9}{16} \right )^{3}; \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{3}; \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{2}\cdot \cfrac{9}{16};3\cdot  \left ( \cfrac{7}{16} \right )^{2}\cdot \cfrac{9}{16} \right ]
Si gettano in aria 2 monete. Qual è la probabilità che diano entrambe testa? Una sola testa? Almeno una testa? \left [ \cfrac{1}{4};\cfrac{1}{2};\cfrac{3}{4} \right ]
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Serena Pasqua 2016

Renè Magritte

Renè Magritte

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Ellisse

Joel Rea

Joel Rea

L'ellisse è quel luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L'ellisse rappresenta ad esempio il percorso dei pianeti attorno al Sole, la forma stessa della Terra è ellittica, un uovo è ellittico, lo stesso cerchione di un pneumatico se non perfettamente rotondo viene rappresentato da un'ellisse.

Come nelle precedenti forme geometriche anche l'ellisse ha un'equazione che la rappresenta.

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

Se due fuochi dell'ellisse hanno coordinate:

F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)

allora a>b

c^2=a^2-b^2

e l'ellisse ha questa rappresentazione grafica

ellisse1

Se invece i due fuochi delle ellisse hanno coordinate:

F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)

allora b>a

c^2=b^2-a^2

e l'ellisse ha questa rappresentazione grafica:

ellisse2ma la a e la b cosa rappresentano?

Danno la lunghezza dei semiassi dell'ellisse.

In pratica l'ellisse è racchiusa in un rettangolo i cui lati sono 2a e 2b.

Ossia si ha una figura del genere:

ellisse3ma cosa differisce un'ellisse da una circonferenza?

Dall'eccentricità ossia di quanto essa è schiacciata rispetto o l'asse x o l'asse y.

in pratica l'eccentricità è un rapporto tra la coordinata dei fuochi e l'asse maggiore dell'ellisse.

e=\cfrac{c}{\begin{matrix} asse &magggiore \end{matrix}}

Nel caso della circonferenza a=b per cui c=0 ed, infatti, l'eccentricità è nulla.

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Utilizzo pratico della media, moda e mediana in una contrattazione sindacale

Rafel Olbinski

Rafal Olbinski

  • Il proprietario di una ditta afferma :"Lo stipendio mensile nella nostra ditta è di 2700€"
  • il sindacato dei lavoratori dice :"Lo stipendio medio è di 1700€"
  • L'agente delle tasse dice che: "Lo stipendio medio è stati di 2200€"

I dati sono ottenuti dalla seguente tabella:

 Stipendio mensile N° di lavoratori
1.300 2
1.700 22
2.200 19
2.600 3
6.500 2
9.400 1
23.000 1

La media aritmetica è di 2.700€

la mediana è di 2.200€

la moda è di 1.700€

Chi dei tre ha ragione?

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Mediana e moda

Rafel Olbinski

Rafal Olbinski

La mediana (Me) è quel dato che divide l'insieme dei dati in due parti uguali.

L'idea che è alla base della mediana è quella di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50%.

Spero con un esempio di chiarire il concetto:

Dati i seguenti valori:

71, 81, 90, 92, 94, 96, 97

Per trovare la mediana devo contare i valori che sono 7:

Il valore che sta esattamente nel mezzo è il 92 infatti esso ha alla sua sinistra 3 valori ed alla sua destra altri 3.

Quindi si deve pensare più che al valore di per sé alla sua posizione.

Per determinare quale valore prendere si prende quel valore che si trova alla posizione:

\cfrac{n+1}{2}

con n il numero dei valori.

Relazione che vale se il numero di valori è dispari

nel caso dell'esempio il calcolo precedente risulta:

\cfrac{7+1}{2}=4

ossia devo prendere il valore che si trova alla posizione 4 che è appunto il 92.

Inserisco questa tabella per chiarire maggiormente il concetto:

 valore 71 81 90 92 94 96 97
posizione 1 2 3 4 5 6 7

Nel caso in cui invece il numero di valori è pari quale valore prendere?

Si prendono i due valori che stanno nella posizione \cfrac{n}{2} e \cfrac{n}{2}+1 e si fa la loro media.

Un esempio spero che chiarisca il concetto.

Dati i valori

 Valore 7 10 12 15
 Posizione  1 2 3  4

n=4 che è pari per cui ho:

\cfrac{n}{2}=2 che corrisponde al valore 10.

\cfrac{n}{2}+1=3 che corrisponde al valore 12.

Adesso trovo la media tra questi due valori che è:

larex Me=\cfrac{10+12}{2}=11

La moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza.

Ad esempio dati i seguenti valori:

5,6,7,7,8.

La moda risulta 7 in quanto è il valore che si presenta con maggior frequenza.

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Razionalizzazione: esercizi per livelli

Rafel Olbinski

Rafal Olbinski

Razionalizzare significa quindi togliere la radice dal denominatore trovando chiaramente una frazione equivalente.

Tale operazione viene usata molto spesso nel trovare la soluzione delle equazioni di secondi grado e nello studio di funzioni polinomiali o nelle funzioni trigonometriche.

La parte più importante dei radicali è proprio la razionalizzazione che poi è una diretta conseguenza delle proprietà delle potenze.

Inserisco adesso degli esercizi suddivisi per livello.

Per un livello sufficiente (6):

 6.1. \cfrac{4}{\sqrt{5}} \left [ \cfrac{4\sqrt{5}}{5} \right ]
6.2. \cfrac{6}{\sqrt{3}} \left [ 2\sqrt{3} \right ]
6.3. \cfrac{9}{\sqrt{15}} \left [ \cfrac{3\sqrt{15}}{5} \right ]
6.4.  \cfrac{9}{\sqrt{6}} \left [ \cfrac{3\sqrt{6}}{2} \right ]
6.5.  \cfrac{5}{\sqrt{10}} \left [ \cfrac{\sqrt{10}}{2} \right ]
6.6. \cfrac{3}{\sqrt{12}} \left [ \cfrac{\sqrt{3}}{2} \right ]
6.7.  \cfrac{2}{\sqrt{2}} \left [ \sqrt{2} \right ]
6.8.   \cfrac{3}{\sqrt{3}} \left [ \sqrt{3} \right ]
6.9. \cfrac{5}{\sqrt{2}} \left [ \cfrac{5\sqrt{2}}{2} \right ]
6.10.  \cfrac{1}{\sqrt{8}} \left [ \cfrac{\sqrt{2}}{4} \right ]
6.11. \cfrac{9}{\sqrt{12}} \left [ \cfrac{3\sqrt{3}}{2} \right ]
6.12. \cfrac{15}{\sqrt{20}} \left [ \cfrac{3\sqrt{5}}{2} \right ]
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Razionalizzazione

Jim Warren

Jim Warren

Razionalizzare significa trasformare una frazione in un'altra, ad essa equivalente, senza radicali o al numeratore o al denominatore.

Comunemente si parla di razionalizzazione quando non vi è un radicale al denominatore.

Questa trasformazione si effettua moltiplicando opportunamente sia il numeratore sia il denominatore della frazione per un fattore, diverso da zero, con un'opportuna radice.

Eccone un esempio:

\cfrac{2}{\sqrt{5}}

non si vuole avere \sqrt{5} al denominatore.

Per ottenere il risultato si moltiplica al numeratore ed al denominatore \sqrt{5}

e si ottiene:

\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}

e conseguentemente sapendo che:

\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}=5

quella di partenza diventa:

\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{5}}{5}

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Esercizi sui radicali: trasporto sotto il segno di radice

Jim Warren

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}\cdot b }

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello.

Teoria

Per un livello sufficiente (6):

6.1. 2\sqrt{2} \left [ \sqrt{8} \right ]
6.2. 3\sqrt{2} \left [ \sqrt{18} \right ]
6.3. 5\sqrt{3} \left [ \sqrt{75} \right ]
6.4. 4\sqrt{2} \left [ \sqrt{32} \right ]
6.5. 2\sqrt[3]{2} \left [ \sqrt[3]{16} \right ]
6.6. 3\sqrt[3]{2} \left [ \sqrt[3]{54} \right ]
6.7. 2\sqrt[3]{5} \left [ \sqrt[3]{40} \right ]
6.8. 4\sqrt[3]{2} \left [ \sqrt[3]{128} \right ]

Per un livello discreto (7):

 7.1. \cfrac{1}{2}\sqrt{8} \left [\sqrt{2}  \right ]
7.2. \cfrac{3}{4}\sqrt{2} \left [\sqrt{\cfrac{9}{8}}\right ]
7.3. \cfrac{2}{3}\sqrt{27} \left [\sqrt{12}  \right ]
7.4. \cfrac{1}{3}\sqrt{3} \left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]
7.5. \cfrac{1}{3}\sqrt{\cfrac{3}{4}} \left [\sqrt{\cfrac{1}{12}}\right ]
7.6. \cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{5}{4}} \left [\sqrt{\cfrac{1}{5}}\right ]
7.7. \cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{8}{9}} \left [\sqrt{2}  \right ]
7.8. \cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{49}{3}} \left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]

Per un buon livello (8):

 8.1. -\cfrac{2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}  \left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}}  \right ]
8.2. -\frac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{40}{3}} \left [-\sqrt[3]{\cfrac{5}{3}}  \right ]
8.3. -\cfrac{4}{3}\sqrt[3]{\cfrac{9}{32}} \left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}  \right ]
8.4. -\cfrac{3}{4}\sqrt[3]{\cfrac{4}{9}} \left [ -\sqrt[3]{\cfrac{3}{16}} \right ]
8.5. \cfrac{2}{3}\sqrt[2]{2-\cfrac{7}{8}} \left [\cfrac{1}{2}  \right ]
8.6. -\cfrac{1}{3}\sqrt{1+\cfrac{5}{4}} \left [ -\cfrac{1}{2} \right ]
8.7. \cfrac{2}{5}\sqrt{4-\frac{7}{8}} \left [ \sqrt{\cfrac{1}{2}} \right ]
8.8. -\cfrac{5}{7}\sqrt{9+\cfrac{4}{5}} -\left [\sqrt{5}  \right ]

Per un livello quasi ottimo (9)

 9.1.
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