Esercizi sulla circonferenza

thDZ4K6XIMGli esercizi sulla circonferenza sono normalmente di questo tipo:

  1. data l’equazione della circonferenza determinare il centro ed il raggio e farne la sua rappresentazione sul piano cartesiano con le relative intersezioni.
  2. dato il centro ed un punto appartenente alla circonferenza, trovare l’equazione della circonferenza
  3. dati tre punti appartenenti alla circonferenza trovare la relativa equazione
  4. data una retta ed una circonferenza, stabilire la loro posizione reciproca
  5. dato un punto trovare la retta passante per questo punto e tangente alla circonferenza

Esercizi elementari (6) di tipo 1: determinazione centro e raggio e relativo disegno

6.1.1.  x^2+y^{2}-2x-2y-2=0 \left [ C\left ( 1;1 \right ); r=2 \right ]
6.1.2 x^{2}+y^{2}-10x-10y+49=0 \left [ C(5;5);r=1 \right ]
6.1.3. x^2+y^2-4x+4y-1=0 \left [ C\left ( 2;-2 \right );r=3 \right ]
6.1.4. x^2+y^2=8 \left [ C\left( 0;0 \right );r=2\sqrt{2} \right ]
 6.1.5. x^2+y^2=1 \left [ C\left \left (0;0  \right ) \right ;r=1\right ]

Esercizi elementari (6) di tipo 2: determinazione dell’equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio

6.2.1.  C\left ( 1;1 \right ); r=2  \left [ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0\right ]
6.2.2. \left C(5;5);r=1 \left [ x^{2}+y^{2}-10x-10y+49=0 \right ]

Esercizi per un livello discreto (7): determinazione centro e raggio e rappresentazione sul piano cartesiano

7.1.  2x^2+2y^2-4x-2y+1=0  \left [ C\left ( 1;\cfrac{1}{2} \right );r=\cfrac{\sqrt{3}}{2} \right ]
7.2. 4x^2+4y^2-4x-8y-11=0 \left [ C\left ( \cfrac{1}{2};1 \right );r=2 \right ]

Determinare l’equazione della circonferenza che ha centro in C e passa per P, e rappresentala graficamente.

Per sviluppare tali esercizi è necessario conoscere la distanza tra due punti

7.3. C\left ( -2;0 \right );P(1;-1)  \left [x^2+y^2+4x-6=0  \right ]
7.4. C\left ( 0;-3 \right );P(1;-1) \left [x^2+y^2+6y+4=0  \right ]
7.5 C\left ( -3;-3 \right );P(0;0) \left [x^2+y^2+6x+6y=0  \right ]
7.6. C\left ( 3;-2 \right );P(0;-2) \left [x^2+y^2-6x+4y+4=0  \right ]
7.7. C\left ( 2;5 \right );P(4;-1) \left [x^2+y^2-4x-10y-11=0  \right ]

Per essere in grado di sviluppare questi esercizi è necessario conoscere come calcolare il punto medio di un segmento.

Esercizi per un buon livello (8): scrivi l’equazione delle circonferenze di diametro AB e rappresentale sul piano

8.1. A\left ( -2,0 \right );B\left ( 4,2 \right )  \left [ x^2+y^{2}-2x-2y-8=0 \right ]
8.2. A\left (0,4 \right );B\left ( 2,-2 \right ) \left [ x^2+y^{2}-2x-2y-8=0 \right ]
8.3. A\left ( -2,3 \right );B\left ( 2,5 \right ) \left [ x^2+y^{2}-8y+11=0 \right ]
8.4. A\left ( 1,-3 \right );B\left ( 4,-1 \right ) \left [ x^2+y^{2}-5x+4y+7=0 \right ]
8.5. A\left (2,-3 \right );B\left ( -6,5 \right ) \left [ x^2+y^{2}+4x-2y-27=0 \right ]

Esercizi per un livello che dimostra una certa sicurezza nell’operare (9-10).

Quello che serve conoscere è la condizione di appartenenza di un punto ad una funzione e sape risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite.

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A, B, C e rappresentala graficamente.

9.1. A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 2,0 \right ); C\left ( 1,1 \right )  \left [ x^2+y^2-x+y-2=0 \right ]
9.2. A\left ( -1,1 \right ); B\left ( 2,2 \right ); C\left ( 0,-2 \right )  \left [ x^2+y^2-2x-4=0 \right ]
9.3. A\left ( 0,0 \right ); B\left ( 3,0 \right ); C\left (2,-2 \right )  \left [ x^2+y^2-3x-3y=0 \right ]
9.4. A\left ( -1,2 \right ); B\left ( 1,0 \right ); C\left ( 2,2 \right )  \left [ x^2+y^2-x-3y=0 \right ]
9.5. A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 3,0 \right ); C\left ( 0,1 \right )  \left [ x^2+y^2-2x+2y-3=0 \right ]
9.6. A\left ( -2,0 \right ); B\left ( 2,4 \right ); C\left ( 2,0 \right )  \left [ x^2+y^2-4y-4=0 \right ]

Questi esercizi sono utili per verificare la capacità di saper risolvere un sistema d’equazione.

Per avere un’ottima manualità (10)

Determinare la posizione reciproca della retta e della circonferenza e determinare gli eventuali punti d’intersezione

 10.1 x^2+y^2-4x-2y=0 e x-4=0 \left [ secante:\left ( 4,0 \right ),(4,2) \right ]
10.2x^2+y^2-8x+10y+25=0 e y+9=0 \left [ tangente;\left ( 4,-9 \right )\right ]
10.3. x^2+y^2+4x-2y=0 e x+3y+4=0 \left [ secante;\left ( -4,0 \right )\right;\left ( -1;-1 \right ) ]
10.4. x^2+y^2-6x-4y+4=0 e x-y-4=0 \left [ secante;\left ( 3,-1 \right )\right;\left (6;2 \right ) ]
10.5. x^2+y^2-50=0 e 3x+4y+40=0 \left [ esterna \right ]
10.6. x^2+y^2-6x-16y+60=0 e 3x-2y-6=0 \left [ tangente: \left ( 6,6 \right ) \right ]

Problemi che mettono in evidenza le competenze:

C1. Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in (-1;3) ed è tangente all’asse y.

\left [ x^2+y^2+2x-6y+9=0 \right ]

C2. Determina l’equazione della circonferenza ce ha centro nell’origine ed è tangente alla retta di equazione x+2y-5=0

\left [ x^2+y^2=5 \right ]

C3. Scrivi l’equazione della circonferenza avente il centro di ordinata uguale a 3 e passante per i punti A(8;9) e B(12;1).

\left [ x^2+y^2-12x-6y+5=0 \right ]

Alcuni esercizi risolti

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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