Il paradosso di Zenone: introduzione alle successioni ed alle serie

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Jacek Yerka

Un paradosso è una frase o un pensiero logico che sembra in contraddizione con il pensiero comune.

Il paradosso più conosciuto è quello di Zenone (filosofo greco del V secolo a.C.)

Eccolo:

Se Achille (detto “pie’ veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Per meglio capire il paradosso si osservi la seguente figura:

image006Ossia si consideri che:

  • Achille vada ad una velocità doppia di quella della tartaruga
  • la tartaruga parta con mezzo metro di vantaggio rispetto Achille.
  • che si cerchi di capire se entrambi raggiungono il metro da percorrere.

Si può dimostrare che Zenone sbagliava in due maniere:

  • attraverso le nozioni fisica ed in particolare utilizzando la descrizione del moto rettilineo uniforme
  • attraverso la convergenza della serie numerica.

Dimostrazione mediante la convergenza della serie numerica.

  • la tartaruga andando ad una velocità che è metà di quella di Achille percorre sempre metà spazio rispetto a quella che percorre Achille.

Achille all’inizio percorre:

\cfrac{1}{2}

la tartaruga intanto, nello stesso tempo, si è spostata percorrendo:

\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}

Achille arriva al punto della tartaruga precedente mentre la tartaruga ha percorso

\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}

questo perché la tartaruga percorre sempre la metà del percorso fatto da Achille.

Si ha quindi la seguente tabella che schematizza la strada di Achille e quella della tartaruga:

                                            Achille Tartaruga
Tempo 0                                 0 \cfrac{1}{2}
Tempo 1                                 \cfrac{1}{2} \cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}
Tempo 2                                 \cfrac{3}{4} \cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}

Quindi per Achille si ha la seguente serie numerica:

0+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+...+\cfrac{1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }\cfrac{1}{2^{n}}

che si può dimostrare che tende ad 1!

analogamente la formula precedente descrive la strada percorsa dalla tartaruga che anch’essa converge ad 1.

Quindi l’errore di Zenone è quello di non considerare che la somma infinita di cifre più piccole di 1 converge ad 1! E quindi Achille raggiunge la tartaruga.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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