Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Data la funzione:

f(x)=a\cdot \log_{2} \left ( x+b \right )

 

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x

 

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1) a\cdot \log _{2}b=0

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene  alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2) a\cdot \log _{2}\left ( 3+b \right )=4

analizzando la (1)

a\neq 0

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

\log _{2}b=0

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

2^{0}=b

che fornisce il valore

b=1.

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

a\cdot \log _{2}4=4

ma

\log _{2}4=2.

2a=4.

a=2.

la funzione di partenza diventa:

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

 

b) Per rappresentare la funzione

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

f(x)=\log _{2}x

che è:

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La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

f(x)=2\cdot \log _{2}x

grafico logaritmo2

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

grafico logaritmo3

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x.

\log _{\frac{1}{2}}x=\cfrac{\log _{2}x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=\cfrac{\log _{2}x}{-1}=-\log _{2}x

che diventa:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3+\log _{2}x.

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

\left\{ \begin{array}{c} x+1>0 \\ x>0 \end{array} \right.

che mi dà come soluzione

x>0

torno alla disequazione che diventa:

\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}2^{3}+\log _{2}x.

\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}8x

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

x^{2}+2x+1-8x\geq 0.

x^{2}-6x+1\geq 0

Risolvo l’equazione associata:

x_{1,2}=\cfrac{6\pm \sqrt{36-4}}{2}=\cfrac{6\pm \sqrt{32}}{2}=\cfrac{6\pm 4\sqrt{2}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}.

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

disequazionei punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

x>0

la soluzione della disequazione diventa:

0<x\leq 3-2\sqrt{2}

e

x\geq 3+\sqrt{2}.

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

y=2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )

identificata con la linea rossa

e al funzione:

y=3+\log_{2}x

identificata con la linea blu.disequazionesi nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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