SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Razionalizzazione

Pubblicato il 13 Marzo 2016 da admin

Jim Warren

Razionalizzare significa trasformare una frazione in un’altra, ad essa equivalente, senza radicali o al numeratore o al denominatore.

Comunemente si parla di razionalizzazione quando non vi è un radicale al denominatore.

Questa trasformazione si effettua moltiplicando opportunamente sia il numeratore sia il denominatore della frazione per un fattore, diverso da zero, con un’opportuna radice.

Eccone un esempio:

$\cfrac{2}{\sqrt{5}}$

non si vuole avere $\sqrt{5}$ al denominatore.

Per ottenere il risultato si moltiplica al numeratore ed al denominatore $\sqrt{5}$

e si ottiene:

$\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}$

e conseguentemente sapendo che:

$\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=\left ( \sqrt{5} \right )^{2}=5$

quella di partenza diventa:

$\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\cdot \sqrt{5}}{5}$

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Esercizi sui radicali: trasporto sotto il segno di radice

Pubblicato il 13 Marzo 2016 da admin

[:it]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}\cdot b }$

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello.

Teoria

Per un livello sufficiente (6):

6.1. $2\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{8} \right ]$
6.2. $3\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{18} \right ]$
6.3. $5\sqrt{3}$	$\left [ \sqrt{75} \right ]$
6.4. $4\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{32} \right ]$
6.5. $2\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{16} \right ]$
6.6. $3\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{54} \right ]$
6.7. $2\sqrt[3]{5}$	$\left [ \sqrt[3]{40} \right ]$
6.8. $4\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{128} \right ]$

Per un livello discreto (7):

7.1. $\cfrac{1}{2}\sqrt{8}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.2. $\cfrac{3}{4}\sqrt{2}$	$\left [\sqrt{\cfrac{9}{8}}\right ]$
7.3. $\cfrac{2}{3}\sqrt{27}$	$\left [\sqrt{12} \right ]$
7.4. $\cfrac{1}{3}\sqrt{3}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$
7.5. $\cfrac{1}{3}\sqrt{\cfrac{3}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{12}}\right ]$
7.6. $\cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{5}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{5}}\right ]$
7.7. $\cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{8}{9}}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.8. $\cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{49}{3}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$

Per un buon livello (8):

8.1. $-\cfrac{2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \right ]$
8.2. $-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{40}{3}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{5}{3}} \right ]$
8.3. $-\cfrac{4}{3}\sqrt[3]{\cfrac{9}{32}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \right ]$
8.4. $-\cfrac{3}{4}\sqrt[3]{\cfrac{4}{9}}$	$\left [ -\sqrt[3]{\cfrac{3}{16}} \right ]$
8.5. $\cfrac{2}{3}\sqrt[2]{2-\cfrac{7}{8}}$	$\left [\cfrac{1}{2} \right ]$
8.6. $-\cfrac{1}{3}\sqrt{1+\cfrac{5}{4}}$	$\left [ -\cfrac{1}{2} \right ]$
8.7. $\cfrac{2}{5}\sqrt{4-\frac{7}{8}}$	$\left [ \sqrt{\cfrac{1}{2}} \right ]$
8.8. $-\cfrac{5}{7}\sqrt{9+\cfrac{4}{5}}$	$-\left [\sqrt{5} \right ]$

Per un livello quasi ottimo (9)

9.1.

[:en]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}\cdot b }$

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello

Per un livello sufficiente (6):

6.1. $2\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{8} \right ]$
6.2. $3\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{18} \right ]$
6.3. $5\sqrt{3}$	$\left [ \sqrt{75} \right ]$
6.4. $4\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{32} \right ]$
6.5. $2\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{16} \right ]$
6.6. $3\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{54} \right ]$
6.7. $2\sqrt[3]{5}$	$\left [ \sqrt[3]{40} \right ]$
6.8. $4\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{128} \right ]$

Per un livello discreto (7):

7.1. $\cfrac{1}{2}\sqrt{8}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.2. $\cfrac{3}{4}\sqrt{2}$	$\left [\sqrt{\cfrac{9}{8}}\right ]$
7.3. $\cfrac{2}{3}\sqrt{27}$	$\left [\sqrt{12} \right ]$
7.4. $\cfrac{1}{3}\sqrt{3}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$
7.5. $\cfrac{1}{3}\sqrt{\cfrac{3}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{12}}\right ]$
7.6. $\cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{5}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{5}}\right ]$
7.7. $\cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{8}{9}}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.8. $\cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{49}{3}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$

Per un buon livello (8):

8.1. $-\cfrac{2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \right ]$
8.2. $-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{40}{3}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{5}{3}} \right ]$
8.3. $-\cfrac{4}{3}\sqrt[3]{\cfrac{9}{32}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \right ]$
8.4. $-\cfrac{3}{4}\sqrt[3]{\cfrac{4}{9}}$	$\left [ -\sqrt[3]{\cfrac{3}{16}} \right ]$
8.5. $\cfrac{2}{3}\sqrt[2]{2-\cfrac{7}{8}}$	$\left [\cfrac{1}{2} \right ]$
8.6. $-\cfrac{1}{3}\sqrt{1+\cfrac{5}{4}}$	$\left [ -\cfrac{1}{2} \right ]$
8.7. $\cfrac{2}{5}\sqrt{4-\frac{7}{8}}$	$\left [ \sqrt{\cfrac{1}{2}} \right ]$
8.8. $-\cfrac{5}{7}\sqrt{9+\cfrac{4}{5}}$	$-\left [\sqrt{5} \right ]$

Per un livello quasi ottimo (9)

9.1.

[:de]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^{n}\cdot b }$

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello

Per un livello sufficiente (6):

6.1. $2\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{8} \right ]$
6.2. $3\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{18} \right ]$
6.3. $5\sqrt{3}$	$\left [ \sqrt{75} \right ]$
6.4. $4\sqrt{2}$	$\left [ \sqrt{32} \right ]$
6.5. $2\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{16} \right ]$
6.6. $3\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{54} \right ]$
6.7. $2\sqrt[3]{5}$	$\left [ \sqrt[3]{40} \right ]$
6.8. $4\sqrt[3]{2}$	$\left [ \sqrt[3]{128} \right ]$

Per un livello discreto (7):

7.1. $\cfrac{1}{2}\sqrt{8}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.2. $\cfrac{3}{4}\sqrt{2}$	$\left [\sqrt{\cfrac{9}{8}}\right ]$
7.3. $\cfrac{2}{3}\sqrt{27}$	$\left [\sqrt{12} \right ]$
7.4. $\cfrac{1}{3}\sqrt{3}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$
7.5. $\cfrac{1}{3}\sqrt{\cfrac{3}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{12}}\right ]$
7.6. $\cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{5}{4}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{5}}\right ]$
7.7. $\cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{8}{9}}$	$\left [\sqrt{2} \right ]$
7.8. $\cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{49}{3}}$	$\left [\sqrt{\cfrac{1}{3}}\right ]$

Per un buon livello (8):

8.1. $-\cfrac{2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \right ]$
8.2. $-\frac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{40}{3}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{5}{3}} \right ]$
8.3. $-\cfrac{4}{3}\sqrt[3]{\cfrac{9}{32}}$	$\left [-\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \right ]$
8.4. $-\cfrac{3}{4}\sqrt[3]{\cfrac{4}{9}}$	$\left [ -\sqrt[3]{\cfrac{3}{16}} \right ]$
8.5. $\cfrac{2}{3}\sqrt[2]{2-\cfrac{7}{8}}$	$\left [\cfrac{1}{2} \right ]$
8.6. $-\cfrac{1}{3}\sqrt{1+\cfrac{5}{4}}$	$\left [ -\cfrac{1}{2} \right ]$
8.7. $\cfrac{2}{5}\sqrt{4-\frac{7}{8}}$	$\left [ \sqrt{\cfrac{1}{2}} \right ]$
8.8. $-\cfrac{5}{7}\sqrt{9+\cfrac{4}{5}}$	$-\left [\sqrt{5} \right ]$

Per un livello quasi ottimo (9)

9.1.

[:]

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Esercizi sui radicali: portare fuori dal segno di radice

Pubblicato il 12 Marzo 2016 da admin

Vladimir Kush

Per sviluppare questi esercizi ricordo questi tre teoremi:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

2. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

Esercizi per un livello sufficiente (6):

6.1. $\sqrt[9]{27}$	$\sqrt[3]{3}$
6.2. $\sqrt[12]{25}$	$\sqrt[6]{5}$
6.3. $\sqrt[6]{81}$	$\sqrt[3]{9}$
6.4. $\sqrt[4]{1600}$	$\sqrt[2]{40}$
6.5. $\sqrt[8]{3600}$	$\sqrt[4]{60}$
6.6. $\sqrt{a^{2}}$	$\left [ a \right ]$
6.7. $\sqrt[4]{b^{2}}$	$\left [ \sqrt{b} \right ]$
6.8. $\sqrt{a^{2}b^{4}}}$	$\left [ ab^{2} \right ]$
6.9. $\sqrt[4]{x^{8}y^{4}}$	$\left [ x^{2}y \right ]$
6.10. $\sqrt[3]{x^{3}y^{6}}$	$\left [ xy^{2} \right ]$
6.11. $\sqrt[3]{a^{9}b^{3}}$	$\left [ a^{3}b \right ]$
6.12. $\sqrt[6]{a^{3}b^{3}}$	$\left [ \sqrt{ab} \right ]$
6.12. $\sqrt[6]{x^{2}y^{4}}$	$\left [ \sqrt[3]{xy^{2}} \right ]$
6.13. $\sqrt[3]{8x^{3}y^{6}}$	$\left [ 2xy^{2} \right ]$

Esercizi per un livello discreto (7):

7.1. $\sqrt[6]{0,0025}$	$\sqrt[3]{0,05}$
7.2. $\sqrt[4]{3^{2}+4^{2}}$	$\left [ \sqrt{5}\right ]$
7.3. $\sqrt[6]{25^{2}-7^{2}}$	$\left [ \sqrt[3]{24} \right ]$
7.4. $\sqrt[4]{41^{2}-40^{2}}$	$\left [ 3 \right ]$
7.5. $\sqrt[6]{\cfrac{25}{4}}$	$\left [ \sqrt[3]{\cfrac{5}{2}} \right ]$
7.6. $\sqrt[18]{\cfrac{3^{6}}{4^{12}}}$	$\left [ \sqrt[3]{\cfrac{3}{16}} \right ]$
7.7. $\sqrt{\cfrac{x^{2}}{4y^{4}}}$	$\cfrac{x}{2y^{2}}$
7.8. $\sqrt[4]{\cfrac{9a^2b^4}{16c^6}}$	$\sqrt{\cfrac{3ab^2}{4c^3}}$

Esercizi per un buon livello

8.1. $\sqrt[4]{\cfrac{9}{16}+\cfrac{3}{2}+1}$	$\left [ \sqrt{\cfrac{7}{4}}\right ]$
8.2. $\sqrt[6]{\cfrac{25}{9}-\cfrac{10}{3}+1}$	$\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}$
8.3. $\sqrt[2]{\cfrac{9}{49}+\cfrac{12}{7}+4}$	$\left [ \cfrac{17}{7}\right ]$

Esercizi per un livello quasi ottimo (9)

9.1. $\sqrt[3]{x^3-3x^2+3x-1}$	$\left [ x-1 \right ]$
9.2. $\sqrt[6]{y^3+3y^2+3y+1}$	$\left [\sqrt{y+1} \right ]$

Per un livello ottimo (10)

10.1. $\sqrt[6]{\cfrac{x^2-10x+25}{x^2-8xy+16y^2}}$	$\left [\sqrt[3]{\cfrac{x-5}{x-4y}} \right ]$
10.2. $\sqrt[9]{\cfrac{27a^3b^6}{\left ( 81a^2-18a+1 \right )^3}}$	$\left [ \cfrac{3ab^2}{\left ( 9a-1 \right )^2} \right ]$

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Media aritmetica e ponderata

Pubblicato il 6 Marzo 2016 da admin

Jim Warren

La media aritmetica è quel valore che un evento avrebbe se non esistesse la variabilità.

Nel caso dei voti a scuola, se si prendesse sempre 6 la media sarebbe 6 ma essendoci la variabilità ossia anche altri voti non è detto che la media alla fine risulti 6.

Dal punto di vista aritmetico si calcola la media nella seguente maniera:

$\overline{x}=\cfrac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$

dove $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ sono gli eventi e $n$ è il numero di eventi.

Riprendendo l’esempio dei voti a scuola.

Alla fine di un anno scolastico si hanno i seguenti voti:

6,7,8.

La media risulta:

$\overline{x}=\cfrac{6+7+8}{3}=7$

Nel caso in cui avessi i seguenti voti:

si prendono quattro 6, tre 7, cinque 8, e devo calcolare la media.

Si usa la media ponderata o pesata che tiene conto del numero di volte in cui è capitato l’evento.

$\overline{x}=\cfrac{4\cdot 6+3\cdot 7+5\cdot 8}{5+3+4}=\cfrac{24+21+40}{12}=7$

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Frequenza assoluta e relativa

Pubblicato il 6 Marzo 2016 da admin

Jim Warren

Descrivere un insieme di cose in maniera sintetica è una caratteristica spontanea dell’uomo: quante sono le macchine rosse, quanti uomini o donne vi sono in un gruppo, quante sono le materie in un anno scolastico, com’è il rendimento scolastico.

Ad esempio se voglio una descrizione della tipologia di persone che frequentano un ristorante, ho bisogno di strumenti affinché possa poi capire che tipo di cucina o che alimenti debba comprare.

Cerco di partire da un esempio: i voti presi durante un anno scolastico.

6, 5, 4, 6, 7,6,5,

Il primo parametro è la frequenza.

Si definisce frequenza assoluta il numero di volte che quel particolare evento si ripete.

Nel caso dell’esempio precedente ho:

Evento	frequenza assoluta
6	3
5	2
4	1
7	1
Totale	7

La frequenza relativa invece è la frequenza assoluta espressa in percentuale rispetto al totale dell’evento.

evento	frequenza assoluta	frequenza relativa
6	3	$\cfrac{3}{7}\cdot 100=43\%$
5	2	$\cfrac{2}{7}\cdot 100=29\%$
4	1	$\cfrac{1}{7}\cdot 100=14\%$
7	1	$\cfrac{1}{7}\cdot 100=14\%$
totale	7	100%

Conoscere la frequenza con cui un evento si ripete è fondamentale per far fronte a quell’evento più probabile in maniera migliore. Ad esempio se la frequenza dei clienti che chiedono una pizza margherita è superiore a quella di coloro che chiedono una pizza alla verdure dovrò acquistare meno verdure.

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Esercizi sulla semplificazione di frazioni algebriche

Pubblicato il 6 Marzo 2016 da admin

Jim Warren

Le frazioni algebriche sono caratterizzate dal fatto che:

al numeratore ed al denominatore compaiono lettere e numeri
si applicano le regole di semplificazione delle frazioni
bisogna ricordarsi le regole delle potenze
bisogna ricordarsi i prodotti notevoli
essere molto ordinati.

Ecco alcuni esercizi semplici (6)

6.1. $\cfrac{ab^2}{2b}$	$\left[\cfrac{ab}{2}\right]$
6.2. $\cfrac{3ab}{3a}$	$\left[b\right]$
6.3. $\cfrac{ab^3c^3}{ac^2}$	$\left[b^3c\right]$
6.4. $\cfrac{16a^2}{4ab}$	$\left[4\cfrac{a}{b}\right]$

Alcuni esercizi per un livello discreto (7) :

Questi presuppongono il ripasso sui prodotti notevoli

7.1. $\cfrac{7x-14}{x^2-4}$	$\left[\cfrac{7}{x+2}\right]$
7.2. $\cfrac{6x^2+12xy}{x^2+4y^2+4xy}$	$\left[\cfrac{6x}{x+2y}\right]$
7.3. $\cfrac{2a^2-2a}{a^2-1}$	$\left[\cfrac{2a}{a+1}\right]$
7.4. $\cfrac{3a-3ax}{3a^2-3ax^2}$	$\left[\cfrac{1-x}{a-x^2}\right]$

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[:it]Parabola: introduzione generale[:en]Parabola: introduzione generale[:de]Die Parabel: Generale Einleitung[:]

Pubblicato il 6 Marzo 2016 da admin

[:it]

Jim Warren

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta detta direttrice.

Tale definizione mette in evidenza che le quattro cose che caratterizzano una parabola sono:

il vertice
l’asse di simmetria
il fuoco
la direttrice

L’equazione generica della parabola risulta:

$y=ax^2+bc+c$

dove a,b, c sono dei valori qualsiasi.

Si noti che la $a\neq 0$ altrimenti la parabola degenera in una retta.

I parametri precedenti si esprimono in funzione dei parametri a,b,c.

Vertice $V\left ( -\cfrac{b}{2a},-\cfrac{b^2-4ac}{4a} \right )$

Asse di simmetria $x=-\cfrac{b}{2a}$

Fuoco $F\left ( -\cfrac{b}{2a}, -\cfrac{b^2-4ac-1}{4a}\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{1}{4a}-\cfrac{b^2-4ac}{4a}$

Come esempio si studi la seguente parabola:

$y=x^2-5x+6$

in questo caso

a=1

b=-5

c=6

Tutti i quattro parametri si ricavano calcolando:

$-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-5}{2}=\cfrac{5}{2}$

$-\cfrac{b^2-4ac}{4a}=-\cfrac{25-24}{4\cdot 1}=-\cfrac{1}{4}$

Vertice $V\left ( \cfrac{5}{2},-\cfrac{1}{4} \right )$

Asse di simmetria $x=\cfrac{5}{2}$

Fuoco $F\left ( \cfrac{5}{2}, 0\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{2}{4}$

Graficamente risulta

parabola1

[:en]

Jim Warren

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta detta direttrice.

Tale definizione mette in evidenza che le quattro cose che caratterizzano una parabola sono:

il vertice
l’asse di simmetria
il fuoco
la direttrice

L’equazione generica della parabola risulta:

$y=ax^2+bc+c$

dove a,b, c sono dei valori qualsiasi.

Si noti che la $a\neq 0$ altrimenti la parabola degenera in una retta.

I parametri precedenti si esprimono in funzione dei parametri a,b,c.

Vertice $V\left ( -\cfrac{b}{2a},-\cfrac{b^2-4ac}{4a} \right )$

Asse di simmetria $x=-\cfrac{b}{2a}$

Fuoco $F\left ( -\cfrac{b}{2a}, -\cfrac{b^2-4ac-1}{4a}\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{1}{4a}-\cfrac{b^2-4ac}{4a}$

Come esempio si studi la seguente parabola:

$y=x^2-5x+6$

in questo caso

a=1

b=-5

c=6

Tutti i quattro parametri si ricavano calcolando:

$-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-5}{2}=\cfrac{5}{2}$

$-\cfrac{b^2-4ac}{4a}=-\cfrac{25-24}{4\cdot 1}=-\cfrac{1}{4}$

Vertice $V\left ( \cfrac{5}{2},-\cfrac{1}{4} \right )$

Asse di simmetria $x=\cfrac{5}{2}$

Fuoco $F\left ( \cfrac{5}{2}, 0\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{2}{4}$

Graficamente risulta

parabola1

Versione tedesca[:de]

Shana and Robert Parke Harrison

Shana and Robert Parke HarrisonDie Parabel ist ein Teil des Koordinatensystemes, in dem mehere Punkte immer den gleichen Abstand halten( der so gennante “Brennpunkt”) und einer Geraden (die sogennante Leitlinie).

Diese Definition beweist also die 4 Grundzüge der Parabel:

1.Der Scheitelpunkt

2.Die Symmetrieachse

3.Der Brennpunkt

4.Die Leitlinie

Die generelle Gleichung der Parabel wäre:

$y=ax^2+bc+c$

Wo Punkt A,B und C verschiedene Ziffern haben können.

Man sieht, dass $a\neq 0$ Weil sonst wäre die Parabel eine Gerade.

Die vorherigen Parameter sprechen in Funktion als Parameter von A,B und C.

Scheitelpunkt $V\left ( -\cfrac{b}{2a},-\cfrac{b^2-4ac}{4a} \right )$

Symmetrieachse $x=-\cfrac{b}{2a}$

Brennpunkt $F\left ( -\cfrac{b}{2a}, -\cfrac{b^2-4ac-1}{4a}\right )$

Leitlinie $y=-\cfrac{1}{4a}-\cfrac{b^2-4ac}{4a}$

Als Beispiel hat man hier die folgende Parabel:

$y=x^2-5x+6$

In diesem Fall

a=1

b=-5

c=6

Alle vier Parameter erhält man aus der Rechnung:

$-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-5}{2}=\cfrac{5}{2}$

$-\cfrac{b^2-4ac}{4a}=-\cfrac{25-24}{4\cdot 1}=-\cfrac{1}{4}$

Scheitelpunkt $V\left ( \cfrac{5}{2},-\cfrac{1}{4} \right )$

Symmetrieachse $x=\cfrac{5}{2}$

Brennpunkt $F\left ( \cfrac{5}{2}, 0\right )$

Leitlinie $y=-\cfrac{2}{4}$

Diese ist die grafische Darstellung:

parabola1 [:]

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Esercizi sulle parabole per livelli

Pubblicato il 4 Marzo 2016 da admin

Czlowiek Kamera

Dopo tutti i post di approfondimento sulle equazioni di secondo grado, lo svolgimento passo passo per rappresentare la parabola sul piano cartesiano adesso elenco una serie di esercizi necessari per verificare il proprio grado di comprensione sul tema parabola.

Esercizi di base (6):

Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice delle seguenti parabole.

6.1. $y=-x^2+8x-7$	$\left [ V(4,9);F\left ( 4,\cfrac{35}{4} \right );x=4;y=\cfrac{37}{4} \right ]$
6.2. $y=\cfrac{x^2}{4}-1$	$\left [ V(0,-1);F\left ( 0,0 \right );x=0;y=-2 \right ]$
6.3. $y=-x^2-4x+3$	$\left [ V\left(2,-1);F\left ( 2,-\cfrac{3}{4} \right );x=2;y=-\cfrac{5}{4} \right ]$

Esercizi per un livello discreto (7)

Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’asse di simmetria e della direttrice delle seguenti parabole.

7.1. $y=x^2+x+4$	$\left [ V\left(-\cfrac{1}{2},\cfrac{15}{4}\right);F\left ( -\cfrac{1}{2},4 \right );x=-\cfrac{1}{2};y=\cfrac{7}{2} \right ]$
7.2. $y=x^2-x-12$	$\left [ V\left(\cfrac{1}{2},-\cfrac{49}{4}\right);F\left ( \cfrac{1}{2},-12 \right );x=\cfrac{1}{2};y=-\cfrac{25}{2} \right ]$

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Esercizi sulla fattorizzazione di polinomi

Pubblicato il 4 Marzo 2016 da admin

6.1. $x^2yz + xy^2 + xy$	$\left [ xy(xz + y + 1) \right ]$
6.2. $a^2bx + ab^2y + ax + by$	$[(ab + 1)(ax + by)]$
6.3. $ax^4-ay^4$	$[a(x + y)(x−y)(x^2 + y^2)]$
6.4. $a^2x + 2ax + x + a^2y^2 + 2ay^2 + y^2$	$[(x + y^2)(a + 1)^2]$
6.5. $ax^3-by^3 + bx^3-ay^3$	$[(a + b)(x−y)(x^2 + xy + y^2)]$
6.6. $x^3y + 2x^2y + 2xy + y$	$[ y(x + 1)(x2 + x + 1)]$
6.7. $x^2y^2z^2 + 4x^2y^2z + 3x^2y^2$	$[x^2y^2(z + 1)(z + 3)]$
6.8. $xyz^2 + 10xyz + 25xy$	$[xy(z + 5)^2]$

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Scomposizione (fattorizzazione dei polinomi)

Pubblicato il 3 Marzo 2016 da admin

O-Que-e-Surrealismo-Metodo-Paranoico-critico Tale post nasce dall’esigenza di poter apprendere cosa significa la fattorizzazione di polinomi.

La fattorizzazione è la determinazione del massimo comune denominatore tra i monomi componenti un polinomio.

E’ indispensabile conoscerla per capire successivamente come poter sviluppare le equazioni frazionarie, le espressioni frazionarie e molti studi di funzione che si affrontano nel percorso di approfondimento di matematica.

Con un primo esempio spero di chiarie il problema posto.

Dato il polinomio

$4x^2y-x^2y^3$

si nota che il M.C.D, ossia i termini comuni tra i due monomi, è $x^2y$ .

Quindi lo raccolgo e diventa:

$4x^2y\left ( \cfrac{4x^2y}{x^2y}-\cfrac{x^2y^3}{x^2y} \right )=4x^2y\left ( 4-y^2 \right )$

Adesso ricordandomi la differenza del quadrato di un binomio (prodotti notevoli) l’espressione precedente risulta:

$4x^2y\left ( 4-y^2 \right )=4x^2y\left ( 2-y \right )\left ( 2+y \right )$ .

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