SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

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Adam Martinakis

Il quoziente o divisione tra due frazioni avviene invertendo il numeratore con il denominatore della frazione divisore.

ad esempio:

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Adam Martinakis

Il prodotto tra frazioni si esegue moltiplicando i numeratori o i denominatori sempre che sia i denominatori che i numeratoti delle due frazioni siano ridotti ai minimi termini.

Ad esempio:

ecco l’esempio che mette in evidenza  come conviene fare prima la riduzione o la semplificazione e poi eseguire la moltiplicazione.

Si noti come la semplificazione avviene in modo “incrociato”.

Quindi bisogna cercare di scomporre i singoli numeri presenti al numeratore o al denominatore e poi osservare come cifre uguali poste al numeratore ed al denominatore si possono semplificare!

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Ricardo Fernandez Ortega

Somma di due frazioni con lo stesso denominatore:

ad esempio:

ossia è sufficiente sommare i numeratori.

Differenza di due frazioni con lo stesso denominatore:

ad esempio:

ossia è sufficiente sottrarre i numeratori.

Somma di due frazioni DIVERSO denominatore:

ad esempio:

Differenza di due frazioni DIVERSO denominatore:

ad esempio:

NOTARE CHE CON QUESTO METODO, SE POSSIBILE, SI DOVRA’ RIDURRE LA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI  ossia semplificare il numeratore ed il denominatore.

Per evitare la riduzione successiva si può:

• tracciare una lunga linea di frazione
• determinare il m.c.m. tra i denominatori e scrivere il risultato al denominatore della frazione risultante:
• dividere il m.c.m. con il primo denominatore e moltiplicare il risultato con il primo numeratore, scrivere il risultato.
• dividere il m.c.m. con il secondo denominatore e moltiplicare il risultato con il secondo numeratore, scrivere il risultato.
• sommare /sottrarre i numeratori così ottenuti.

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George Grie

La proprietà invariantiva delle frazioni è alla base di una delle più potenti proprietà per poterle manipolare, facendone la somma, la moltiplicazione, la semplificazione: in partica manipolare le frazioni in maniera esattamente uguale a dei numeri interi.

PROPRIETA’ INVARIANTIVA

Moltiplicando il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero si ha una frazione equivalente.

Dividendo il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero si ha una frazione equivalente.

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano lo stesso valore ad esempio  è uguale a  .

La conseguenza fondamentale di tale proprietà è la semplificazione di una frazione:

oppure il confronto tra frazioni:

devo capire quale tra le seguenti due frazioni è la più grande.

e

• calcolare il m.c.m. tra i denominatori –> m.c.m.{5,6}=30
• Divido il m.c.m. appena trovato per il primo denominatore
• Moltiplico il numeratore ed il denominatore della prima frazione per ossia:

• Divido il m.c.m. appena trovato per il secondo denominatore
• Moltiplico il numeratore ed il denominatore della seconda frazione per ossia:

Adesso le due frazioni iniziali sono diventate:

e

e confrontando solo il numeratore osservo che:

per cui si può dire che:

.

E’ più facile farlo che descriverlo![:]

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Ricardo Fernandez Ortega

Catalogare le seguenti frazioni ossia dire se sono:

• proprie
• improprie
• apparenti

Riporto lo schema per semplicità:

Condizione	Definizione	Esempio
a <b	PROPRIA
a>b ed non multiplo di	IMPROPRIA
a>b multiplo di	APPARENTE
se non si scrive il denominatore

Esercizi:

B.1.	B.11.
B.2.	B.12.
B.3.	B.13.
B.4.	B.14.
B.5.	B.15.
B.6.	B.16.
B.7.	B.17.
B.8.	B.18.
B.9.	B.19.
B.10.	B.20.

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Jorge Ignacio Nazabal

Le frazioni rappresentano delle divisioni: esse sono graficamente rappresentate dalla linea orizzontale che separa i due numeri.

Il numero che “sta sopra” si chiama numeratore

Il numero che “sta sotto” si chiama denominatore

DEFINIZIONE

Si chiama frazione un simbolo costituito da una coppia ordinata di numeri naturali e , con .

Il simbolo si legge “a fratto b”, oppure “a biesimi” o anche “a su b”.

Ad esempio si legge “2 fratto 3”, oppure “2 terzi” oppure “2 su tre”.

• il numero si chiama numeratore e può anche essere zero;
• il numero si chiama denominatore e deve sempre essere diverso da zero;
• può essere minore o maggiore di .

Condizione	Definizione	Esempio
a <b	PROPRIA
a>b ed non multiplo di	IMPROPRIA
a>b multiplo di	APPARENTE
se non si scrive il denominatore

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Vladimir Kush

Il minimo comune multiplo è quello più usato per consentire la somma e la differenza tra le frazioni. Attenzione NON nella moltiplicazione e divisione tra frazioni.

Per calcolarlo si scompongono i numeri e si prendono i numeri primi comuni e non comuni una volta sola con l’esponente più grande oppure si prende il numero più grande e si verifichi che esso contenga un numero di volte intero gli altri numeri. Se ciò non avviene si comincia a moltiplicarlo per 2 o per tre o tante volte finché esso non diventi un perfetto multiplo degli altri.

Esercizi per un livello sufficiente:

Per un livello discreto [7]

Per un buon livello [8]

Verso l’eccellenza [10]

Alcuni problemi con il minimo comune multiplo

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Siobhan Pearson

Il Massimo Comune Divisore è il massimo numero che divide gli altri.

Ad esempio un amico vuole andare al cinema, mangiare la pizza e andare a fare un giro in centro,  un altro vuole andare al cinema e mangiare la pizza; il massimo comune divisore è andare al cinema e mangiare la pizza. Potrebbe essere anche solo andare al cinema ma non è il massimo comune divisore.

Esercizi per un livello sufficiente [6]

Calcolare il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri.

Esercizi per un livello discreto [7]

Esercizi per un buon livello [8]

Esercizi per un livello ottimale [9/10]

Problemi con il massico comune divisore:

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Jorge Ignacio Nazabal

Per potere essere in grado di calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) o il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) tra due o più numeri, si deve essere in grado di effettuare la scomposizione dei numeri stessi.

Euclide ha postulato il seguente TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA

Ogni numero composto può essere scritto, in modo unico, come prodotto di fattori primi

L’operazione che consente di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si chiama scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione).

I divisori, ossia i numeri che dividono il numero da scomporre, devono essere numeri primi.

I numeri primi che normalmente si usano sono i seguenti:

1 , 2,  3 , 5 , 7 , 11 , 13

in seguito alla scomposizione precedente il numero

l’esponente del è perché vi sono due 2, l’esponente del 3 è 4 perché vi sono quattro 3 nella colonna di destra.

Altri esempi:

quindi

.

Il m.c.m. (minimo comune multiplo) è il numero più piccolo che contiene (ossia è multiplo) dei numeri di cui si vuole calcolare il m.c.m.

Cosa fare per trovarlo?

• si scompongono i numeri
• si prendono i numeri comuni  con l’esponente più alto
• si prendono i numeri NON comuni con l’esponente più alto
• si moltiplicano tra di loro i numeri dei due punti precedenti

Esempio.

trovare il m.c.m. tra 4 e 6.

• scompongo i due numeri

• prendo i numeri comuni con l’esponente più alto ossia il
• prendo i numeri comuni con l’esponente più alto ossia il

il mc.m. è:

Un metodo pratico può essere:

• prendere il numero più grande tra quelli di cui si vuole trovare il m.c.m.
• fare la tabellina di questo numero e verificare ogni volta se questo è divisibile per gli altri numeri. (divisibile significa che mi deve dare un numero senza resto).

applicandolo all’esempio precedente:

• prendo il 6
• faccio
• 12 è divisibile per 4 per cui è proprio il m.c.m.

Il M.C.D. (Massimo Comune Divisore) è il numero più grande che divide esattamente tutti i numeri dati.

Cosa fare per trovarlo?

• si scompongono i numeri in fattori primi
• si prendono solo i numeri comuni con l’esponente più basso
• si moltiplicano tra di loro i numeri del punto precedente

Sviluppando l’esercizio precedente si ha:

• prendo il numero comune

ossia il 2 ed è proprio il M.C.D.[:]

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Ricardo Fernandez Ortega

Questa verifica è il primo passo per verificare le proprie competenze di base sulle equazioni di primo grado.

Buon lavoro.

[WpProQuiz 23][:]