SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

[:it]Test su access: avanzato[:]

Pubblicato il 17 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

[WpProQuiz 40]

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[:it]Metodo delle tangenti o di Newton-Raphon[:]

Pubblicato il 16 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Norman Rockwell

Questo metodo si usa quando la derivata seconda mantiene costante il suo segno nell’intervallo entro il quale vi è la soluzione.

Esso si basa sulla determinazione della derivata prima e quindi sulla determinazione della retta tangente nell’estremo la cui ordinata è concorde con la $f^{''}(x)$ .

La tangente ad una curva in un punto si calcola:

$y-f(s)=f^{'}(s)\cdot \left ( x-s \right )$

deve $s$ è $a_{0}$ o $b_{0}$ a seconda che $f(a_{0})$ o $f(b_{0})$ siano concordi, nell’intervallo, con $f^{''}(x)$ .

La soluzione è l’intersezione della retta tangente con l’asse delle ascisse per cui si ha:

$x_{1}=s-\cfrac{f(s)}{f^{'}(s)}$

generalizzando, il procedimento è il seguente:

Il punto di partenza della successione approssimata è l’estremo dell’intervallo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda.

$x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})}$

Ci si ferma nella reiterazione quando

$\left |x_{n+1}-x_{n} \right |$ è minore della precisione richiesta.

CONCLUSIONE SUI TRE METODI

Si arriva molto velocemente con il metodo delle tangenti ma esso richiede la conoscenza della derivata prima ed anche del segno della derivata seconda.

Con il primo metodo invece non si richiede alcuna derivata ma soltanto un procendimento molto meccanico.

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[:it]Metodo delle secanti o di Lagrange o delle parti proporzionali[:]

Pubblicato il 16 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Norman Rockwell

Per trovare la soluzione in questo caso, invece che trovare il punto medio, come nel metodo di bisezione, si trova la retta passante per i due punti, per cui vale il teorema di unicità della radice, e si determina il suo punto di intersezione con l’asse delle x.

L’errore o approssimazione è data dalla differenza tra le due intersezioni successive ossia:

$\left | x_{n}-x_{n-1} \right |$

La retta passante per i due estremi ha equazione:

$\cfrac{y-f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}=\cfrac{x-a_{0}}{b_{0}-a_{0}}$

e la sua intersezione vale:

$x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}$

Ecco il metodo ricorsivo per determinare la soluzione:

Data l’equazione $f(x)=0$ , si cerchi un intervallo $\left [ a_{0};b_{0} \right ]$ tale che $f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0$ .

Calcolare $x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}$
Calcolare $f\left ( x_{1} \right )$
Se $f\left ( x_{1} \right )=0$ allora $x_{1}$ è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
Solo al passo successivo al primo si calcola $\left | x_{2}-x_{1} \right |$ , se risulta minore della precisione voluta, si termina il ciclo uscendo.
Se $f\left ( x_{1} \right )\neq 0$ si deve scegliere il nuovo intervallo con il seguente criterio:

se $f\left ( x_{1} \right )<0$ allora $a_{1}=x_{1}$ , $b_{1}=b_{0}$

se $f\left ( x_{1} \right )>0$ allora $a_{1}=a_{0}$ , $b_{1}=x_{1}$

6. Si torna al punto 1 con i nuovi intervalli.

Nel caso in cui il segno della derivata seconda mantenesse lo stesso segno (ossia la curva mantenesse la stessa concavità) nell’intervallo trovato, il procedimento si semplifica notevolmente e si ha la seguente ricorsione.

Se $f(a_{0})\cdot f^{''}(x)>0$

allora

$x_{0}=b_{0}$

$x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{a_{0}-x_{n}}{f(a_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})$

Se $f(a_{0})\cdot f^{''}(x)<0$

allora

$x_{0}=a_{0}$

$x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{b_{0}-x_{n}}{f(b_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})$

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[:it]Approfondimento sulle porprietà dei logaritmi[:]

Pubblicato il 15 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Norman Rockwell

Questo mio approfondimento nasce dall’esigenza di chiarire quando due funzioni logaritmiche sono uguali o meno.

In particolare è corretto affermare che:

$log\left (x \right )+log\left (x \right )=log\left (x^{2} \right )$ ?

Se applicassimo la proprietà dei logaritmi senza alcuna riflessione in merito la risposta sarebbe affermativa.

Se andiamo ad effettuare il grafico delle due funzioni ci si accorge che sono uguali solo per $x>0$ .

Allora dove sta la soluzione al problema?

Per applicare la proprietà bisogna prima studiare il dominio ossia scrivere la relazione precedente è possibile farlo solo dopo aver evidenziato che si può fare solo e soltanto per $x>0$ .

Se si fosse richiesto invece di studiare solo la funzione:

$y=log\left (x^{2} \right )$

allora il dominio sarebbe stato tutto $\mathbb{R}$ esclusa l’origine.[:]

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[:it]Metodo di bisezione[:]

Pubblicato il 15 Gennaio 2017 da admin

[:it]Trovare una soluzione non significa che si debba conoscere esattamente il suo valore preciso ma è sufficiente uno approssimato.

Il procedimento si basa sul punto medio di un intervallo, in cui si presuppone esserci una soluzione. La scelta dell’intervallo deve soddisfare il teorema dell’unicità del limite.

Il punto medio si calcola come:

$m_{0}=\cfrac{a_{0}+b_{0}}{2}$

Il valore del punto medio meno la soluzione precisa (che non si conosce) è sicuramente minore di metà dell’intervallo stesso.

Ossia in maniera algebrica:

$\left |m_{0}-c \right |<\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}$

Quindi si prende metà dell’intervallo, che invece si conosce, come stima dell’approssimazione. Questa scelta assolutamente corretta ha come svantaggio il fatto che, per arrivare all’approssimazione voluta, bisogna reiterare il procedimento numerose volte.

L’approssimazione viene definita come:

$\epsilon _{0}=\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}$

Il procedimento si itera prendendo come nuovo estremo dell’intervallo il punto medio trovato e si calcola quindi la nuova media e la nuova stima finchè essa sia minore di quella voluta.

Nei dettagli:

Data l’equazione $f(x)=0$ , si cerchi un intervallo $\left [ a_{0};b_{0} \right ]$ tale che $f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0$ .

determinare il punto medio dell’intervallo $\left [ a_{0};b_{0} \right ]$ , $m_{0}=\cfrac{a_{0}+b_{0}}{2}$ , e si calcoli $f\left ( m_{0} \right )$ .
se $f\left ( m_{0} \right )=0$ , allora $m_{0}$ è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
se $f\left ( m_{0} \right )\neq 0$ allora $m_{0}$ è un valore approssimato della soluzione e si calcola $\epsilon _{0}=\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}$ .
Se $\epsilon _{0}\leqslant 0$ di quella voluta si esce da ciclo altrimenti si va al passo successivo
Si sceglie il nuovo intervallo in questa maniera:

se $f\left ( m_{0} \right )<0$ allora $a_{1}=m_{0}$ , $b_{1}=b_{0}$

se $f\left ( m_{0} \right )>0$ allora $a_{1}=a_{0}$ , $b_{1}=m_{0}$

6. si torna torna al numero 1 con in nuovi intervalli.

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[:it]Teorema di unicità dello zero.[:]

Pubblicato il 14 Gennaio 2017 da admin

[:it]Questo teorema garantisce che un’equazione vista come funzione possa avere una soluzione.

Primo teorema

Se la funzione è, in intervallo [a,b]:

continua
derivabile almeno una volta
la $f^{'}(x)\neq 0$
$f(a)\cdot f(b)<0$

allora essa interseca l’asse delle x esattamente in un punto.

Secondo teorema

Se la funzione è, in intervallo [a,b]:

continua
derivabile due volte
la $f^{''}(x)\neq 0$
$f(a)\cdot f(b)<0$

allora essa interseca l’asse delle x esattamente in un punto.

Vi sono poi quattro metodi per determinare in maniera approssimata la soluzione cercata:

il metodo di bisezione

il metodo delle secanti

il metodo delle tangenti

il metodo iterativo o del punto unito[:]

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[:it]Serie di Taylor e di McLauin[:]

Pubblicato il 10 Gennaio 2017 da admin

[:it]Studiare il grafico di una funzione non è cosa assolutamente semplice, inoltre spesso non interessa il grafico completo ma solo il suo andamento in un intorno di un suo determinato punto.

Per fare questo è sufficiente avere un punto attorno il quale la funzione da approssimare sia derivabile n volte e si può approssimare la funzione di partenza con un polinomio.

Allora vale il seguente teorema fondamentale in analisi che consente l’approssimazione voluta.

Sia $f$ una funzione derivabile $n$ volte in $x_{0}$ allora si può approssimare la funzione di partenza con un polinomio tale che:

$P(x)=f(x_{0})+f^{'}(x-x_{0})+\cfrac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\cfrac{f^{'''}(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^3+...+\cfrac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n$

più ci si allontana dal punto $x_{0}$ e meno precisa è l’approssimazione polinomiale della funzione.

Se poi il punto $x_{0}=0$ lo sviluppo in serie precedente si chiama serie di McLaurin

$P(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cfrac{f^{'''}(0)}{3!}x^3+...+\cfrac{f^{n}(0)}{n!}x^n$ [:]

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[:it]Esercizi di base con le proporzioni[:]

Pubblicato il 8 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

Ricordarsi sempre le formula risolutiva ossia si moltiplicano gli estremi e si divide per il medio nel caso in cui l’incognita sia uno dei due medi,

si moltiplicano i medi e si divide per l’estremo nel caso in cui l’incognita sia uno dei due medi.

Esercizi di base:

6.1. $9:x=3:2$
6.2. $x:8=10:5$
6.3. $9:6=x:2$
6.4. $9:6=3:x$
6.5. $16:x=10:5$
6.6. $16:8=x:5$
6.7. $16:8=10:x$

Esercizi per un livello più sicuro [7], ricordarsi di sviluppare prima le parentesi

7.1. $\left ( 1-\cfrac{3}{4} \right ):0,2=1:x$	$\left [ \cfrac{4}{5} \right ]$
7.2. $\left ( 4-\cfrac{1}{2} \right ):x=\left ( \cfrac{5}{4}+\cfrac{1}{2} \right ):\cfrac{4}{5}$	$\left [ \cfrac{8}{5} \right ]$
7.3. $\left ( \cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{12} \right ):x=\left ( 1-\cfrac{4}{9} \right ):\left ( \cfrac{7}{15}-\cfrac{1}{20} \right )$	$\left [ \cfrac{1}{2} \right ]$

Si va verso un livello buono [8]

8.1. $\left ( \cfrac{1}{3} +\cfrac{1}{2}\right )^{2}:\left ( 1-\cfrac{1}{6} \right )^{2}=x: \left [\left ( \cfrac{4}{7} \right )^{2} \cdot \left ( 2-\cfrac{1}{4} \right )^{2}+2 \right ]$	$\left [ 3 \right ]$
8.2. $x:\cfrac{3}{5}=\left ( 3+\cfrac{1}{8} \right ):\left ( \cfrac{5}{2} \right )^{2}$	$\left [ \cfrac{3}{10} \right ]$
8.4. $\left ( \cfrac{5}{12}+\cfrac{5}{6} \right ):x=\left ( \cfrac{5}{6}+\cfrac{5}{3} \right ):\left ( 1+\cfrac{2}{3} \right )$	$\left [ \cfrac{5}{6} \right ]$

Esercizi per verificare la massima sicurezza [9][10]

9.1. $\left ( \cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3} \right )^{2}:\left ( 1-\cfrac{1}{3} \right )^{3}=x:\left ( 0,\overline 2 \right )^{2}$	$\left [ \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{3} \right ]$
9.2. $x:\left [ \left ( \cfrac{3}{4}+\cfrac{5}{2} \right )^{2}:\left ( \cfrac{13}{4} \right )^{2} \right ]=\left [ \left ( 2\cdot \cfrac{3}{10} \right )^{2}:\left ( \cfrac{9}{4}-\cfrac{9}{5} \right )^{2} \right ]:x$	$\left [ \cfrac{4}{3} \right ]$