SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

[:it]Verifica sui numeri relativi: livello base[:]

Pubblicato il 5 Marzo 2017 da admin

[:it]

Roberto Bergonzo

[WpProQuiz 44][:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Integrali: calcolo delle aree. Problema 1[:]

Pubblicato il 4 Marzo 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

Rappresenta graficamente $y=\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}$ e determina l’area della regione di piano compresa fra la curva, l’asse delle y e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. (suggerimento. Per il calcolo dell’integrale poni $x=4\sin ^{2}t$ ).

Sviluppo.
Intanto rappresento graficamente la curva.
Per calcolare il dominio si deve porre l’argomento della radice $\geqslant 0$ ed il denominatore $\neq 0$ .
$\cfrac{x}{4-x}\geqslant 0$
Il numeratore è positivo per
$x\geqslant 0$
il denominatore non può essere negativo per cui ho:
$4-x> 0$
ossia
$x<4$
unendo le due disequazioni e valutando il segno si ha:

Rendered by QuickLaTeX.com

Quindi il dominio è:
$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}| 0\leqslant x<4 \right \}$

Presenta un asintoto verticale in $x=4$ e, sempre usando lo studio del segno della funzione:
$\underset{x\rightarrow 4^{-}}{lim}\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}=+\infty$

Adesso bisogna fare la derivata prima e successivamente la derivata seconda per determinare il punto di flesso e l’equazione della retta in esso tangente.
$y'=\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}\cdot \cfrac{\left ( 4-x \right )-x\left ( -1 \right )}{\left ( 4-x \right )^{2}}$
semplificandola opportunamente si ha:
$y'=\cfrac{2}{\sqrt{\cfrac{x}{4-x} }\cdot \left ( 4-x \right )^{2}}$
per trovare il flesso devo calcolare la derivata seconda.

Per comodità riscrivo la derivata prima nella seguente maniera:

$y'=2\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( 4-x \right )^{-2}$
la derivata seconda deve essere posta a zero per trovare il punto di flesso.
$y^{''}=2\left ( -\cfrac{1}{2} \right )\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{3}{2}}\cfrac{4}{\left ( 4-x \right )^{2}}\left ( 4-x \right )^{-2}+2\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{1}{2}}(-2)\left ( 4-x \right )^{-3}(-1)$

semplificandola in maniera opportuna essa diventa:
$y^{''}=-\cfrac{1}{x\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}+\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}$

che si annulla per $x=1$

Sostituendo il valore trovato alla funzione di partenza $y=\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}$
$F_{y}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}$
Le coordinate del punto di flesso sono:
$F\left ( 1;\cfrac{1}{\sqrt{3}} \right )$

per trovare il coefficiente angolare della retta passante per il punto di flesso è sufficiente calcolare il valore della derivata prima in $x=1$
$y^{'}(1)=\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}\cdot \cfrac{2}{9}$
$m=\cfrac{2}{9}\sqrt{3}$
La retta tangente alla curva e passante per il punto di flesso ha equazione:
$y-\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{2}{9}\sqrt{3}\left ( x-1 \right )$
Rappresento sul piano cartesiano la curva e la retta.

Rendered by QuickLaTeX.com

Per meglio capire la zona di cui si deve calcolare l’area evidenzio solo la zona di interesse ossia per $0<x<1$

Rendered by QuickLaTeX.com

L’area voluta è quel piccolo spicchio tra l’asse y la retta e la curva per cui si dovranno calcolare i seguenti integrali:

(1) $\begin{equation*} A=\int_{0}^{1}\cfrac{2}{9}\sqrt{3}x+\cfrac{\sqrt{3}}{9}\, dx-\int_{0}^{1}\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}\, dx \end{equation*}$

Il primo integrale è facilmente risolvibile

(2) $\begin{equation*} \left.\begin{matrix} \cfrac{2}{9}\sqrt{3}\cdot \cfrac{x^{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{9}\cdot x \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\cfrac{\sqrt{3}}{9}+ \cfrac{\sqrt{3}}{9}=\cfrac{2}{9}\cdot \sqrt{3} \end{equation*}$

La seconda parte dell’integrale chiede la seguente sostituzione $x=4\sin ^{2}t$ , derivando

$dx=8\sin t\cos t\,dt$

cambiando gli estremi di integrazione, in seguito alla sostituzione:

$4\sin ^{2}t=0$
risolta dà
$t=0$
e
$4\sin ^{2}t=1$
$\sin ^{2}t=\cfrac{1}{4}$
prendo solo la radice positiva
$\sin t=\cfrac{1}{2}$
$t=\cfrac{\pi}{6}$

diventa:

(3) $\begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{\cfrac{4\sin ^{2}t}{4-4\sin ^{2}t}}\cdot 8\sin t\cos t\,dt \end{equation*}$

ricordandosi l’equazione goniometrica:

$\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$ ed applicandola al denominatore della (3)
$4-4\sin ^{2}t=4\left ( 1-\sin ^{2}t \right )=4\cos ^{2}t$

la (3) diventa:

(4) $\begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sqrt{\cfrac{4\sin^{2}t}{4\cos^{2}t}}\cdot 8\sin t\cos t\,dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\cfrac{\sin t}{\cos t}\cdot 8\sin t\cos t\,dt=8\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sin^{2} t\,dt \end{equation*}$

La primitiva si può calcolare attraverso l’integrazione per parti.
$\int \sin ^{2}t\, dt=\int \sin t \cdot \sin t \, dt=-\sin t\cos t+\int \cos ^{2}t \, dt$
utilizzando sempre l’equazione goniometrica
$\int \sin ^{2}t\, dt= -\sin t\cos t+\int 1-\sin ^{2}t \, dt=-\sin t\cos t+t -\int \sin ^{2}t \, dt$
spostando al primo membro i due integrali si ha:
$2\int \sin ^{2}t\, dt= -\sin t\cos t+t$
e l’integrale risolto diventa:
$\int \sin ^{2}t\, dt= -\cfrac{1}{2}\sin t\cos t+\cfrac{1}{2}t$

(5) $\begin{equation*} 8\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sin^{2} t\,dt\left=\begin{matrix} -4\sin t\cos t+4t\end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi}{6}}=-\sqrt{3}+\cfrac{2}{3}\pi \end{equation*}$

Adesso sottraendo alla (2) la (5) si ha il risultato:

$\cfrac{2}{9}\sqrt{3}+\sqrt{3}-\cfrac{2}{3}\pi =\cfrac{11}{9}\sqrt{3}-\cfrac{2}{3}\pi$

[Questo post è interamente scritto in LaTex]

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Rette: approfondimenti sulle rette parallele e perpendicolari[:]

Pubblicato il 26 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare.
Ossia hanno lo stesso numero che moltiplica la $x$ .

Ad esempio
$y=2x+3$
$y=2x$
$y=2x-3$
$y=2x-5$
sono tutte rette parallele ed infatti dal grafico lo si vede

Rendered by QuickLaTeX.com

Due rette sono perpendicolari quando il coefficiente angolare è opposto e reciproco uno all’altro.
Ad esempio
$y=2x+3$
$y=-\cfrac{1}{2}x$
sono rette perpendicolari ed infatti dal grafico lo si può notare:

Rendered by QuickLaTeX.com

[Questo post è scritto totalmente in LaTex]

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Power Point: esercizio 1[:]

Pubblicato il 22 Febbraio 2017 da admin

[:it]

modulo6esercizio[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Test rappresentazione retta[:]

Pubblicato il 21 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Roberto Bergonzo

[WpProQuiz 43]

[Questo test è scritto totalmente in LaTex][:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Soluzione esercizio su integrale per sostituzione[:]

Pubblicato il 20 Febbraio 2017 da admin

[:it]9.1. $\int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx$

Effettuo la seguente sostituzione:

(1) $t=3x+\sqrt{9x^{2}-1}$

$t-3x=\sqrt{9x^{2}-1}$

elevo entrambi i membri alla seconda in maniera da non avere più la radice quadrata

$\left (t-3x \right )^{2}=9x^{2}-1$

$t^{2}+9x^{2}-6tx=9x^{2}-1$

$t^{2}-6tx=-1$

$x=\cfrac{t^{2}+1}{6t}$

facendo la derivata a desta e sinistra si ha:

$dx=\cfrac{2t(6t)-6(t^{2}+1)}{36t^2}dt$

(2) $dx=\cfrac{t^{2}-1)}{6t^2}dt$

$\sqrt{9x^{2}-1}=t-3x=t-\cfrac{t^2+1}{6t}$

(3) $\sqrt{9x^{2}-1}=\cfrac{3t^2-3}{6t}$

Adesso sostituendo la (2) e la (3) nell’integrale di partenza si ha:

$\int \cfrac{1}{\cfrac{3t^{2}-3}{6t}}\cdot \cfrac{t^{2}-1}{6t^{2}}dt=\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt$

$\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt=\cfrac{1}{3}\ln t+k$

e sostituendo la (1) si ha come risultato:

$\cfrac{1}{3}\ln \left | 3x+\sqrt{9x^2-1} \right |+k$ [:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Esercizi sugli integrali per sostituzione[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Renè Magritte

Esercizi per un livello sufficiente [6]

6.1. $\int \cfrac{1+e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$	$2\left ( e^{\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right )+k$
6.2. $\int \cfrac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}dx$	$2\sqrt{1-\cos x}+k$

Esercizi per un livello discreto [7]

7.1. $\int \cos x\sqrt{3+2\sin x}\cdot dx$	$\cfrac{1}{3}\sqrt{3+2\sin x}\left ( 3+2\sin x \right )+k$

Esercizi per un livello ottimo[9/10]

9.1. $\int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx$

$\ln \sqrt[3]{\left | 3x+\sqrt{9x^{2}-1} \right |}+k$

Soluzione dettagliata all’esercizio precedente[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Integrali per sostituzione[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Renè Magritte

Gli integrali per sostituzione utilizzano il cambio o sostituzione di variabile per trovarsi in una situazione di più semplice risoluzione.

Tale metodo può sempre essere applicato a qualunque tipo di integrale sempre che tale sostituzione possa poi portare ad un integrale facilmente sviluppabile.

La cosa fondamentale è la seguente:

$f(x)=f(t)$

e quindi

$f^{'}(x)dx=f^{'}(t)dt$

$dx=\cfrac{f^{'}(t)}{f^{'}(x)}dt$

Ad esempio tale metodo può essere applicato al seguente integrale:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx$

pongo $x^{2}+1=t$

effettuo la derivata a destra e a sinistra

$2x\cdot dx=1\cdot dt$

$dx=\cfrac{1}{2x}dt$

Adesso sostituisco nell’integrale che diventa:

$\int 2x\left ( t \right )^{2}\cfrac{1}{2x}dt=\int t^{2}dt=\cfrac{t^{3}}{3}+k$

ma $t=x^{2}+1$

ed il risultato diventa:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx=\cfrac{\left ( x^{2}+1 \right )^{3}}{3}+k$

Sostituzioni più comuni:

Integrale	Sostituzione
$\int \sqrt{x}dx$	$\sqrt{x}=t$
$\int f^{'}(x)\cdot f(x)dx$	$t=f(x)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$
$\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\cdot dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Contrassegnato integrale per sostituzione, Renè Magritte | Lascia un commento

[:it]Esercizi con potenze di numeri relativi [:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

George Grie

Esercizi per un livello sufficiente [6]

Calcolare le seguenti potenze

6.1. $\left ( -3 \right )^{2}$
6.2. $\left ( +\cfrac{1}{2} \right )^{3}$
6.3. $\left ( +\cfrac{1}{5} \right )^{2}$
6.4. $\left ( -3 \right )^{3}$
6.5. $\left ( -1 \right )^{7}$
6.6. $\left ( -\cfrac{1}{5} \right )^{2}$
6.7. $\left ( -\cfrac{1}{3} \right )^{3}$
6.8. $\left ( -\cfrac{1}{2} \right )^{5}$
6.9. $\left ( +4 \right )^{0}$
6.10. $\left ( +\cfrac{3}{4} \right )^{2}$
6.11. $\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{2}$

Stabilire solo il segno delle seguenti potenze

Potenza	Segno	Potenza	Segno
$\left ( +3 \right )^{5}$	+	$\left ( -10 \right )^{8}$
$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{0}$		$\left ( +\cfrac{3}{4} \right )^{0}$
$\left ( -\cfrac{1}{2} \right )^{4}$		$\left ( +4 \right )^{7}$
$\left ( +\cfrac{1}{9} \right )^{15}$		$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{11}$
$\left ( -\cfrac{1}{8} \right )^{7}$		$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{12}$
$\left ( -\cfrac{2}{3} \right )^{7}$		$\left ( +1 \right )^{7}$
$\left ( +\cfrac{4}{3} \right )^{6}$		$\left ( -\cfrac{7}{13} \right )^{19}$
$\left ( +\cfrac{8}{5} \right )^{9}$		$\left ( -1 \right )^{13}$