[:it]Maturità 2017: quesito 1[:]

Pubblicato il 23 Giugno 2017 da admin

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Definito il numero E come:

(1)   \begin{equation*} E=\int_{0}^{1}xe^{x}dx \end{equation*}

dimostrare che risulta:

(2)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx=e-2E \end{equation*}

ed esprimere

(3)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx \end{equation*}

in termini di e ed E.

Prerequisiti:

  • conoscere l’integrazione per parti

Sviluppo:

La (2) la si risolve integrando per parti, ed utilizzo il seguente schema:

f(x)=x^{2} g(x)=e^{x}
f^{'}(x)=2x g^{'}(x)=e^{x}

 

(4)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx\left=\begin{matrix} x^{2}e^{x}\end{matrix}\right|_{0}^{1}-2\int_{0}^{1}xe^{x}dx= e-2E \end{equation*}

 

Anche la (3) la si risolve per parti ed utilizzo il seguente schema:

f(x)=x^{3} g(x)=e^{x}
f^{'}(x)=3x^2 g^{'}(x)=e^{x}

(5)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx\left=\begin{matrix} x^{3}e^{x}\end{matrix}\right|_{0}^{1}-3\int_{0}^{1}x^2e^{x}dx \end{equation*}

ed utilizzando le relazioni precedentemente trovare ho:

(6)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx=e-3(e-2E)=e-3e+6E=-2e+6E \end{equation*}

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