[:it]Soluzioni esercizi sull’ellisse[:]

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L’equazione generica dell’ellisse è:

\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

e confrontandola con quella dell’esercizio

\cfrac{x^{2}}{4}}+\cfrac{y^{2}}{1}=1

si nota immediatamente che

a^{2}=4

b^{2}=1

ed ho quindi trovato i vertici dell’ellisse che sono i punti in cui l’ellisse interseca l’asse delle ascisse e l’asse delle ordinate.

+a e -a sono le intersezioni con l’asse delle ascisse

+b e -b sono le intersezioni con l’asse delle ordinate

per trovare qual è l’asse maggiore si confrontano i punti a e b e si nota che a che vale 2 è maggiore di b che vale 1.

Per trovare le coordinate dei fuochi si usa la seguente formula:

c^{2}=a^{2}-b^{2}

sostituendo alle lettere i rispettivi valori si ha:

c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}

determinata la c posso trovare l’eccentricità che mi fornisce di quanto la mia ellisse sia “schiacciata”

e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sqrt{3}}{2}

Adesso posso disegnare l’ellisse il cui grafico risulta:

ellisse

testo esercizi

7.1.

Confronto

x^2+4y^2=1

con la forma canonica

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

noto subito che nell’esercizio devo manipolare il coefficiente che moltiplica y^2 in questa maniera:

\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{4}}=1

così posso subito identificare:

a^2=1

e

b^2=\cfrac{1}{4}

quindi a=\sqrt{1}=1 e b=\sqrt{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{1}{2}

Le coordinate dei fuochi

c=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\cfrac{3}{4}}

ed infine l’eccentricità

e=\sqrt{\cfrac{3}{4}}

il grafico di questa ellisse risulta:

ellisse4

testo esercizi

8.1.

Confronto

4x^2+9y^2=25

con l’equazione canonica

\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1

mi devo trovar l’uno, per cui diviso a sinistra e a destra per 25 e quindi l’equazione di partenza risulta.

 

 

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