Per questo post ringrazio un ragazzo del liceo scientifico che mi ha stimolato a scriverlo.
Data la funzione trigonometrica:
determinarne il codominio e la periodicità ed il valore di 
affinché abbia periodicità 
Per arrivare alla soluzione vi sono diverse strade ma la più stimolante è sicuramente utilizzare le trasformazioni.
So che la funzione:
ha periodicità 
e codominio tra [-1 e 1].
Per inciso il codominio di una funzione è l’intervallo aperto o chiuso entro il quale la y assume determinati valori.
Infatti il grafico è:
y=sin(x)
Parto da quest’ultima per arrivare a quella di partenza.
Parto da questa:
(1) 
pongo 
e quindi 
e 
quindi la (1) diventa:
ossia:
(2) 
In questo caso il codominio qual è?
il codominio è tra [-2;2]. Lo si vede anche dal seguente grafico:
y”=-2sin(x”)
adesso applico la seguente trasformazione:
lasciando 
che permette di avere la (2) trasformata in:
che diventa
(3) 
il codominio prima era tra [-2;2] quindi diventa:
ossia il codominio è tra [-3;1] che si vede anche dal grafico:
y”’=-2sin(x”’)-1
Adesso applico la trasformazione:
e
quindi la (3) diventa:
(4) 
questa trasformazione non cambia la periodicità della mia funzione in quanto sommare o sottrarre una quantità all’argomento del seno fa sì che l’andamento periodico della funzione si sposti in avanti o indietro.
Infatti il grafico della (4) è uguale a quello della (3) solo spostato indietro:
la linea blu identifica la curva (3) mentre quella rossa la curva (4) che è uguale solo spostata all’indietro di 
.
Ultima trasformazione che va ad influire sul calcolo della periodicità.
e 
allora la (4) diventa:
(5) 
la periodicità diventa:
.
ossia è 
.
Se io volessi trovare il valore di k per cui la periodicità sia è sufficiente quindi risolvere questa semplice equazione:
che fornisce come soluzione 2!