[:it]Metodo delle secanti o di Lagrange o delle parti proporzionali[:]

[:it]

Norman Rockwell

Per trovare la soluzione in questo caso, invece che trovare il punto medio, come nel metodo di bisezione, si trova la retta passante per i due punti, per cui vale il teorema di unicità della radice, e si determina il suo punto di intersezione con l’asse delle x.

L’errore o approssimazione è data dalla differenza tra le due intersezioni successive ossia:

$\left | x_{n}-x_{n-1} \right |$

La retta passante per i due estremi ha equazione:

$\cfrac{y-f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}=\cfrac{x-a_{0}}{b_{0}-a_{0}}$

e la sua intersezione vale:

$x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}$

Ecco il metodo ricorsivo per determinare la soluzione:

Data l’equazione $f(x)=0$ , si cerchi un intervallo $\left [ a_{0};b_{0} \right ]$ tale che $f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0$ .

Calcolare $x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}$
Calcolare $f\left ( x_{1} \right )$
Se $f\left ( x_{1} \right )=0$ allora $x_{1}$ è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
Solo al passo successivo al primo si calcola $\left | x_{2}-x_{1} \right |$ , se risulta minore della precisione voluta, si termina il ciclo uscendo.
Se $f\left ( x_{1} \right )\neq 0$ si deve scegliere il nuovo intervallo con il seguente criterio:

se $f\left ( x_{1} \right )<0$ allora $a_{1}=x_{1}$ , $b_{1}=b_{0}$

se $f\left ( x_{1} \right )>0$ allora $a_{1}=a_{0}$ , $b_{1}=x_{1}$

6. Si torna al punto 1 con i nuovi intervalli.

Nel caso in cui il segno della derivata seconda mantenesse lo stesso segno (ossia la curva mantenesse la stessa concavità) nell’intervallo trovato, il procedimento si semplifica notevolmente e si ha la seguente ricorsione.

Se $f(a_{0})\cdot f^{''}(x)>0$