Massimi e minimi funzione a due variabili: gradiente e matrice hessiana

Vladimir Kush

Lo studio dei massimi e dei minimi per le funzioni a due variabili richiede l'introduzione di alcuni nuove strumenti matematici quali il gradiente e la matrice hessiana.

ll gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali seconde della funzione, questo in un sistema ortonormale.

\nabla f=\left ( \cfrac{\delta f}{\delta x};\cfrac{\delta f}{\delta y};... \right )

La matrice hessiana è composta dalle derivate seconde parziali opportunamente combinate, per semplicità scrivo quella relativa alla matrice quadrata di rango 2.

H=\begin{pmatrix} \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}} & \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x \delta y}}\\ \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta y\delta x}}&\cfrac{\delta ^{2}f}{\delta y^{2}}} \end{pmatrix}

Per calcolare i massimi e i minimi di una funzione a più variabili attraverso la matrice hessiana devo analizzare le seguenti condizioni:

  • annullare il gradiente \nabla f=0 i relativi punti saranno poi usati nello studio del segno del determinante della matrice hessiana
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |>0 e f_{xx}>0 allora P_{0} è un minimo relativo
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |>0 e e f_{xx}<0 allora P_{0} è un massimo  relativo
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |<0 allora P_{0} è un punto di sella.

Con f_{xx}=\cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}}

Il punto di sella è quel punto tale per cui la matrice hessiana rimane indefinita o in particolare è quel punto tale che prendendo due curve passanti per P esso è sia minimo che massimo graficamente si ha:

Moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei massimi e minimi vincolati

L'applicazione del teorema di Lagrange lo si usa quando la funzione è vincolata da un'altra. L'applicazione del teorema di Lagrange fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente ma consente comunque la determinazione dei massimi e dei minimi vincolati.

Senza entrare nel formalismo del teorema è sufficiente sapere che data la funzione f(x,y) e la funzione vincolo  g(x,y) si definisce

L\left ( x,y,\lambda \right )=f(x,y)+\lambda g(x,y)

Si annulla il gradiente di questa funzione e si sostituiscono i valori trovati in f(x,y) e li si confrontano e quelli minori sono i minimi e quelli maggiori sono i massimi.

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