Geometria nello spazio: esercizio 2

Guido Borelli

Una sfera, il cui centro è il punto k(-2,-1,2) è tangente al piano \Alpha di equazione 2x-2y+z-9=0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Sviluppo

Il primo passo è determinare il raggio della sfera attraverso la determinazione della distanza tra il centro ed il piano:

r=\cfrac{\left | ak_{x}+bk_{y}+ck_{z}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

dove con k_{x},k_{y},k_{z} sono le tre coordinate del centro, e a,b,c,d sono i rispettivi coefficienti numerici di x,y,z ed il termine noto.

La relazione precedente diventa quindi:

\cfrac{\left | 2\cdot \left (-2  \right )+ \left (-2  \right )\cdot\left ( -1  \right )+1\cdot 2-9 \right |}{\sqrt{2^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1^{2}}}=\cfrac{\left | -4+2+2-9 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=3

L'equazione della sfera generica è:

\left ( x-k_{x} \right )^{2}+\left ( y-k_{y} \right )^{2}+\left ( z-z_{x} \right )^{2}=r^{2}

Sostituendo i valori numerici diventa:

\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}

metto a sistema l'equazione della sfera con quella del piano ed ho il punto di tangenza:

\left\{\begin{matrix} \left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}\\ 2x-2y+z-9=0 \end{matrix}\right.

se continuassi tale metodo mi troverei però un'equazione in due incognite infatti avrò:

5x^2+5y^2-22x+28y-8xy-4=0

Il metodo risolutivo è allora il seguente.

I coefficienti numerici del piano rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano, ed il centro rappresenta proprio un punto che appartiene alla retta cercata che avrà equazione parametrica:

\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=-1-2t\\ z=2+t \end{matrix}\right.

adesso si sostituiscono i valori nell'equazione del piano determinando t:

\left ( -2+2t \right )2-2\left ( -1-2t \right )+2+t-9=0

-4+4t+2+4t+2+t-9=0

t=1

Adesso si sostituisce il valore trovato nell'equazione parametrica del piano e si trova il punto d'intersezione.

x=0

y=-3

z=3

Graficamente si ha la seguente situazione:

 

 

 

 

 

 

 

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