Approfondimenti Retta sul piano cartesiano in forma parametrica e vettore direzione

Guido Borelli

Normalmente una retta viene sempre definita nella forma

y= mx +q

o nella forma

ax+by+c=0

che viene utilizzata solo quando si deve determinare la distanza tra un punto ed una retta.

Che significato hanno a e b?

Essi rappresentano proprio le componenti del  vettore  v_{\perp }\left ( a;b \right ) perpendicolare alla retta.

Graficamente si vede benissimo tale fatto.

La retta 3x+2y+5=0

ha vettore v_{\perp }\left ( 3;2 \right )

Date due rette

ax+by+c=0

a'x+b'y+c=0

Condizione di parallelismo

Saranno parallele quando i due vettori saranno una combinazione lineare dell'uno rispetto all'altro quindi:

a=\alpha a'

b=\alpha b'

o meglio:

\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}

graficamente si vede la cosa:

date le rette

2x+2y+5=0

9x+6y+2=0

sono parallele

e si vede che i due vettori sono sovrapposti ed uno è proprio multiplo dell'altro.

Condizione di perpendicolarità

In seguito alla definizione di prodotto scalare tra due vettori, saranno perpendicolari due rette se

a\cdot a'+b\cdot b'=0

Graficamente.

Se si hanno le due rette

2x+2y+5=0 con m_{\perp }(2,2)

9x+6y+2=0 con v_{\perp }(9,6)

Retta in forma parametrica

Tale rappresentazione utilizza il vettore direzione. Vi sono infinite rappresentazione della retta in forma parametrica perché sono infiniti i vettori che sono paralleli ad una retta.

Tale vettore si chiama vettore direzione.

Ad esempio:

\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.

il vettore direzione ha le coordinate che sono i coefficienti di t

v(2,5)

 

E' molto più agevole avere la retta in forma parametrica per farne il grafico.

E' la rappresentazione parametrica della retta

5x-2y-11=0

Passaggio dalla forma parametrica alla forma implicita.

Si risolve il sistema in funzione di t e si confrontano i due valori di t trovati.

Ad esempio:

\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} t=\cfrac{x-3}{2}\\ t=\cfrac{y-2}{5} \end{matrix}\right.

\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-2}{5}

5x-15=2y-4

5x-2y-11=0

Passaggio dalla forma implicita alla forma parametrica

Vi sono vari metodi.

Uno è il seguente.

La forma implicita

ax+by+d=0

fornisce il vettore  v_{\perp }(a,b), il vettore direzione è perpendicolare a questo per cui avrà coordinate v(b,-a)

La forma parametrica generale è:

\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt\\ y=y_{0}+mt \end{matrix}\right.

dove v(l,m) è il vettore direzione e P(x_{0},y_{0}) sono le coordinate di un punto appartenente alla retta.

Ad esempio se ho la retta:

x+2y+5=0

il vettore v_{\perp }(1,2), il vettore direzione è v(2,-1),

\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+2t\\ y=y_{0}-t \end{matrix}\right.

Adesso prendo il punto P(0,-\cfrac{5}{2}) che appartiene alla retta.

\left\{\begin{matrix} x=0+2t\\ y=-\cfrac{5}{2} -t \end{matrix}\right.

Info su Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all’indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell’ambio della gestione storage e disaster recovery nell’ambito bancario.

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