Parabola: introduzione generale

Jim Warren

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta detta direttrice.

Tale definizione mette in evidenza che le quattro cose che caratterizzano una parabola sono:

L’equazione generica della parabola risulta:

$y=ax^2+bc+c$

dove a,b, c sono dei valori qualsiasi.

Si noti che la $a\neq 0$ altrimenti la parabola degenera in una retta.

I parametri precedenti si esprimono in funzione dei parametri a,b,c.

Vertice $V\left ( -\cfrac{b}{2a},-\cfrac{b^2-4ac}{4a} \right )$

Asse di simmetria $x=-\cfrac{b}{2a}$

Fuoco $F\left ( -\cfrac{b}{2a}, -\cfrac{b^2-4ac-1}{4a}\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{1}{4a}-\cfrac{b^2-4ac}{4a}$

Come esempio si studi la seguente parabola:

$y=x^2-5x+6$

in questo caso

a=1

b=-5

c=6

Tutti i quattro parametri si ricavano calcolando:

$-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-5}{2}=\cfrac{5}{2}$

$-\cfrac{b^2-4ac}{4a}=-\cfrac{25-24}{4\cdot 1}=-\cfrac{1}{4}$

Vertice $V\left ( \cfrac{5}{2},-\cfrac{1}{4} \right )$

Asse di simmetria $x=\cfrac{5}{2}$

Fuoco $F\left ( \cfrac{5}{2}, 0\right )$

Direttrice $y=-\cfrac{2}{4}$

Graficamente risulta

parabola1

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