Le equazioni razionali frazionarie

Renè Magritte, La sera che cade, 1964

Le equazioni razionali frazionarie sono quelle che non hanno l’incognita sotto radice ma hanno l’incognita al denominatore ed al numeratore.

In pratica un’equazione frazionaria (da adeso in poi continuerò a chiamarla cosi)  è del tipo:

(1)  \cfrac{5}{x-1}+\cfrac{7}{x-2}=0

Si risolve con i normali metodi di un’equazione di primo grado con un’avvertenza: quando si semplifica il denominatore bisogna studiare il dominio entro il quale l’equazione ha soluzione o più banalmente il CAMPO D’ACCETTABILITA’, meglio ancora, i valori consentiti che risolvono l’equazione.

Per arrivare a risolvere l’equazione usata come esempio, preferisco richiamare come si sviluppa un’espressione con soli numeri, con numeri e lettere per poi arrivare a risolvere la (1).

Prendo l’espressione:

\cfrac{5}{4}+\cfrac{7}{9}

essa si sviluppa prendendo il minimo comune multiplo del denominatore ossia

4 \cdot 9

 

quindi l’espressione diventa:

\cfrac{5 \cdot 9 + 7 \cdot 4}{4 \cdot 9}

 

Adesso prendo l’espressione:

\cfrac{5}{A}+\cfrac{7}{B}

essa si sviluppa prendendo il minimo comune multiplo del denominatore ossia

A \cdot B

quindi l’espressione diventa:

\cfrac{5\cdot B+ 7\cdot A }{A\cdot B}

 

Focalizzo l’attenzione sul denominatore ossia perché possa aver senso, A e B dovranno essere sempre diversi da zero altrimenti dividerei qualcosa per zero e ciò è impossibile.

Adesso torno all’equazione di partenza:

(1)  \cfrac{5}{x-1}+\cfrac{7}{x-2}=0

Faccio il minimo comune multiplo pensando che

A= x-1

e

B=x-2

Quindi l’equazione diventa:

\cfrac{5 \cdot (x-2) + 7 \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot (x-2)} = 0

 

Studiando il C.A. (campo d’accettabilità) devo porre:

(x-1)\neq 0

 

e

(x-2)\neq 0

 

Fatto questo posso semplificare il denominatore e risolvo una semplice equazione di primo grado:

5x-10+7x-7=0

 

che ha come soluzione

x = \cfrac{17}{12}

 

Video su un’equazione frazionaria:

Equazione frazionaria

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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