Radicali: la chiave di volta

Jacek Yerka

Quando si pensa ai radicali, spesso e volentieri si creano tanti di quei metodi per poterli sviluppare che sembra quasi un argomento scollegato a quello degli esponenziali.

E’ un errore di fondo che merita un’immediata verifica.

Si pensi a questi classici problemi.

1) Mettere tutto sotto la stessa radice:

7\sqrt{7}

2) Estrarre dalla radice più numeri possibili:

\sqrt{7^{3}}

3)  Unificare in un’unica radice:

\sqrt{\sqrt{7}}

La cosa fondamentale è pensare sempre a questa cosa:

come si è imparato che un numero può essere elevato alla potenza, tale potenza oltre che essere intera può essere razionale (frazione) oppure anche con la virgola ossia può esistere la seguente cosa:

7^{3} oppure 7^{\frac{1}{2}}

e VARRANNO SEMPRE LE STESSE REGOLE IMPARATE PER LE POTENZE OSSIA

a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}

e

\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{n\cdot m}

Il simbolo radice \sqrt{ }, a mio modesto parere, ha creato più confusione che chiarezza in quanto sembra quasi che si sia creato un argomento nuovo rispetto allo studio degli esponenziali: nulla di più sbagliato.

E’ stato Cartesio ad introdurlo per primo, siamo a metà del 1600, prima di lui si indicava con la lettera R la radice.

Si provi quindi ad imparare nuovamente il tutto come si faceva prima di Cartesio e si avrà un immediato giovamento!

\sqrt{7}=7^{\frac{1}{2}}

e generalizzando:

\sqrt[n]{7^{m}}=7^{\frac{m}{n}} ossia il numeratore dell’esponenziale rimane l’esponenziale del radicando, il denominatore è il grado della radice.

Purtroppo in occidente si è voluto imparare la matematica introducendo un simbolismo che va bene solo per la radice quadrata di un numero ipotizzando che l’operazione più comune fosse questa: in realtà in tutta l’analisi superiore tale fatto viene ampiamente sfatato!

Ma in conclusione come si sviluppano i tre problemi citati?

Problema 1:

7\sqrt{7}=7\cdot 7^{\frac{1}{2}}=7^{1+\frac{1}{2}}=7^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{7^{3}}

Problema 2:

\sqrt{7^{3}}=7^{\frac{3}{2}}=7^{1+\frac{1}{2}}=7^{1}\cdot 7^{\frac{1}{2}}=7\cdot \sqrt{7}

Problema 3

\sqrt{\sqrt{7}}=\left ( 7^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{1}{2}}=7^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{7}

 

Tutti i problemi innumerevoli che si danno alle superiori non sono altro che l’applicazione dei semplici tre problemi precedenti.

 

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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