Forma indeterminata: regola di De L’Hospital

Renè Magritte

Renè Magritte

La regola di De L’Hospital è utilissima nel calcolo dei limiti che si presentano nella forma indeterminata.Si pensi che il marchese De l’Hospital visse nella metà del 1600 ed era allievo di Bernoulli; quest’ultimo fu un grande matematico svizzero esperto di calcolo differenziale e integrale: in tale famiglia sicuramente la matematica e la fisica eranon di casa. Il conosciuto teorema di Bernoulli, applicato nella dinamica dei fluidi e che giustifica il volo degli aerei,  è stato elaborato dal figlio.

Ritengo fondamentale che la trattazione dell’analisi ponga l’argomento delle derivate dopo quello dei limiti e che quest’ultimi vengano spiegati tramite la teoria NSA; grazie a ciò l’applicazione del menzionato teorema ha la sua massima valenza.

Ecco il teorema:

Se sviluppando un limite ci si trova nella forma:

\cfrac{0}{0}

oppure nella forma:

\cfrac{\infty}{\infty}

allora si può applicare il teorema:

(1) \underset{x\rightarrow c}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}

ossia posso fare la derivata del numeratore e del denominatore

N.B. NON LA DERIVATA DEL QUOZIENTE DI FUNZIONE ma la DERIVATA DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE!

La (1) vale anche in questo caso:

(2) \underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}

Esempio nel caso \cfrac{0}{0}

\underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{2x^{2}-2x}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{4x-2}{1}=2

Esempio nel caso \cfrac{\infty}{\infty}

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2x-1}{3x+1}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{3}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
This entry was posted in Senza categoria and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *