Limiti infiniti: asintoto verticale: approfondimento

Jacek jerka

Nell’introduzione avevo accennato al fatto che studiare cosa accade ad una funzione nell’intorno di un punto significa studiare il limite a destra e a sinistra.Tale studio, com’è consuetudine, in analisi si riassume in tali forme:

(1) \underset{x\rightarrow c^{+}}{lim}f(x)=\pm\infty

(2) \underset{x\rightarrow c^{-}}{lim}f(x)=\pm\infty

la (1) descrive il fatto che si studia l’andamento della funzione quando ci si avvicina al valore c provenendo da destra.

la (2) descrive il fatto che si studia l’andamento della funzione quando ci si avvicina al valore c provenendo da sinistra.

Ad esempio: assumo che c=2 allora provenire da sinistra significa prendere i seguenti valori: 1,8; 1,9; 1,91 e così via; provenire da destra significa prendere i seguenti valori 2,2; 2,1; 2,001 e così via.

Ancora provenire da destra significa prendere valori >2 mentre provenire da sinistra significa prendere valori <2.

Per capire se la funzione assume un valore +\infty o -\infty si deve studiare il segno della funzione in un intorno del valore a cui tende la x.

Ecco un esempio:

(3) \underset{x\rightarrow2^{+}}{lim}\cfrac{1}{x-2}=+\infty

(4) \underset{x\rightarrow2^{-}}{lim}\cfrac{1}{x-2}=-\infty

Infatti:

– il dominio è tutto Re escludendo il valore in cui si annulla il denominatore ossia 2.

– devo studiare la seguente disequazione:

\cfrac{1}{x-2}>0.

Per x>2 la funzione è positiva mentre per x<2 la funzione è negativa.

La regola è:

per studiare i limiti nella forma (1) e (2) si deve studiare la disequazione della funzione  di cui si deve studiare il limite.

Tale regola giustifica il continuo studio delle disequazioni frazionarie negli anni scolastici precedenti!

Quindi si ha sempre un asintoto verticale ma la funzione ha un andamento diverso.

Il grafico della funzione:

f(x)=\cfrac{1}{x-2} è:

Si nota che:

all’avvicinarsi a 2 da destra la funzione assume valori sempre positivi al limite infinitesimamente positivi;

all’avvicinarsi a 2 da sinistra la funzione assume valori sempre negativi al limite infinitesimamente negativi.

 

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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