Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 1)

Fortunato Depero

1) Dato un triangolo i cui angoli (alpha;beta;gamma) seguono le seguenti relazioni:

cosalpha=-cfrac{1}{sqrt{3}} con 2pi<alpha<cfrac{pi}{2}

cosbeta=cfrac{5}{6} con 0<beta<cfrac{pi}{2}

Determinare il singamma.

Sviluppo:

alpha+beta+gamma=pi ossia

gamma=pi-(alpha+beta)

devo determinare:

(1) singamma=sinleft[pi-(alpha+beta)right]=sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta

in cui ho utilizzato le formule di addizione.

siccome in trigonometria vale la relazione fondamentale che è la diretta conseguenza del teorema di Piragora:

sin^{2}alpha+cos^{2}alpha=1

allora

sinalpha=pmsqrt{1-cos^{2}alpha}=pmsqrt{1-left(-cfrac{1}{sqrt{3}}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{1}{3}}=pmsqrt{cfrac{2}{3}}

devo prendere il segno positivo o negativo?

Siccome il sinalpha è positivo per 2pi<alpha<cfrac{pi}{2} allora prendo il segno positivo ed ho quindi:

(2) sinalpha=sqrt{cfrac{2}{3}}

In maniera analoga ho:

sinbeta=pmsqrt{1-left(cfrac{5}{6}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{25}{36}}=pmsqrt{cfrac{11}{36}}=pmcfrac{sqrt{11}}{6}

Prendo il segno positivo perchè sinbeta è positivo per 0<beta<cfrac{pi}{2}

quindi:

(3) sinbeta=cfrac{sqrt{11}}{6}

Adesso sostituisco la (2) e la (3) nella (1) prendendo anche i dati di partenza e risulta:

sqrt{cfrac{2}{3}}cdotcfrac{5}{6}-cfrac{sqrt{11}}{6}cdotcfrac{1}{sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}

razionalizzando (ossia moltiplicando per sqrt{3} sia il numeratore che il denominatore) il risultato conclusivo diventa:

cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{6}-sqrt{33}}{18}

 

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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