Maturità 2019: primo problema – primo punto

Si considerino le seguenti funzioni:

f(x)=ax^2-x+b

g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2}

Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in \mathbb{R} con a\neq 0, la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A(2,1).

Prerequisiti

  • saper fare la derivata prima
  • segno della derivata prima
  • risolvere un sistema d’equazioni

Sviluppo

Sviluppo la prima parte facendo la derivata prima di g(x).

g'(x)=a\cdot e^{2x-x^2}+(ax+b)e^{2x-x^2}\cdot (2-2x)

annullo la derivata per determinare i potenziali punti di massimo o di minimo

posso eliminare l’esponenziale perchè si annulla solo all’infinito e rimane:

a+(ax+b)\cdot (2-2x)=a+2ax-2ax^{2}+2b-2bx=0

2ax^2-2x(a-b)-a-2b=0

x_{1,2}=\cfrac{(a-b)\pm \sqrt{(a-b)^2+2a^2+4ab}}{2a}=\cfrac{(a-b)\pm \sqrt{2a^2+(a+b)^2}}{2a}

si nota che la quantità sotto la radice è sempre positiva per cui si hanno sempre due valori che potranno essere un massimo ed un minimo.

Per verificare che siano anche massimo o minimo assoluti devo verificare che:

\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}(ax+b)e^{2x-x^2}=0

\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}(ax+b)e^{2x-x^2}=\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}\frac{ax+b}{e^{x^2-2x}}

Applicando De L’Hospital:

\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}\frac{a}{e^{x^2-2x}(2x-2)}=0

Adesso sviluppo la seconda parte:

Sostituisco le coordinate di A(2,1) in f ed in g e risolvo il relativo sistema:

\left\{\begin{matrix} 1=4a-2+b\\  1=(2a+b)e^{4-4} \end{matrix}\right.

Risolvendola con il metodo che si preferisce si ha:

a=1

b=-1

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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