Maturità 2019: quesito cinque

Si lanciano 4 dati con facce numerate da 1 a 6:

  • Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi il 5?
  • Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
  • Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

Prerequisito

  • conoscere bene le permutazioni con ripetizione
  • lo schema ad albero per calcolare le probabilità del prodotto e somma di eventi

Sviluppo

Primo punto:

Per avere che la somma non superi il 5 è necessario che si abbia la seguente quaterna:

1 1 1 2

essa può essere vista come una permutazione con ripetizione del gruppo 1 tre volte e quindi le possibili permutazioni sono:

p=\cfrac{4!}{3!}=4

ed anche la quaterna

1 1 1 1

La probabilità che esca 1 è \cfrac{1}{6} come pure che esca il 2 e quindi si deve effettuare il prodotto affinché esca la quaterna 1 1 1 2 ossia

\left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

siccome può capitare quattro volte, la probabilità cercata sarà:

5\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Secondo punto:

Il ragionamento è molto simile al precedente

per avere che il prodotto sia un multiplo del 3 si dovranno avere queste quaterne (a fianco inserisco quante possibili permutazioni possono essere inserite e elativa probabilità:

Quaternapermutazioneprobabilità
6 3 3 3 4
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 6 61
\left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
1 1 1 34
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 1 1 1 4
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 6 34
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
6 6 3 36
6\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

23\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

terzo punto:

Seguo il ragionamento e lo schema precedente:

quaternapermutazioneprobabilità
4 1 1 14
4\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 2 244\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 3 3 344\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 4 4 411\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 2 266\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 1 266\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 3 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 1 1 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 2 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}
4 2 3 366\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

45\cdot \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{4}

About Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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