Dimostrazione formula risolutiva equazione di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono il primo passo verso  la maturità della conoscenza della matematica. In tutti i cicli d’istruzione durante il primo massimo secondo anno delle superiore lo si affronta con sicurezza e la maturità delle persone fa sì che tale argomento non sia assolutamente così ostico.

Ecco il metodo più comune con il quale si risolvono.

Data la seguente equazione:

ax^{2}+bx+c=0

il fatto che sia di secondo grado l’incognita x significa che avrò due soluzioni.

Le soluzioni sono:

x_{1,2}=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

ma perchè?

La dimostrazione è più semplice di quello che non si pensi.

Si tenga presente il prodotto notevole (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

ax^{2}+bx=-c moltiplico entrambi i membri per 4a e si ha:

4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac adesso sommo ad entrambi i membri b^{2} e si ha:

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2} ma il primo membro è esattamente un quadrato del binomio 2ax+b e si ha:

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2} risolvendo il quadrato a sinistra ho esattamente due soluzione una positiva ed una negativa:

2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}

risolvendola in funzione dell’incognita x ho:

x_{1,2}=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

che è proprio quella di partenza.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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