Soluzione livello discreto per testare le derivate e tangenti alla curva

Pierre Auguste Renoir

11. y=6x^{3}+\cfrac{x-3}{4}non bisogna farsi ingannare dalla seconda parte in quando si ha un denominatore.

Per non cadere in errore è sufficiente dividerlo ossia considerare la seguente funzione:

y=6x^{3}+\cfrac{x}{4}-\cfrac{3}{4}

in questa forma è più facile effettuare la derivata prima:

y=18x^{2}+\cfrac{1}{4}

12. y=5x^{2}+4x^{3}+6x-3 nel punto P(1:12)

verifico che il punto P appartenga alla curva:

12=5\cdot1^{2}+4\cdot1^{3}+6\cdot1-3

12=5+4+6-3=12 il punto P appartiene alla curva

Calcolo la derivata prima della curva:

y'=10x+12x^{2}+6

m=y'(1)=10+12+6=28

la retta quindi è y=28x + q per determinare q sostituisco il punto P

12=28+q da cui q=-16

L’equazione della retta tangente è:

y=28x-16

13. y=7x+4 nel punto P(0;4)

P appartiene alla curva?

4=7\cdot0+4=4

Sì, P appartiene alla curva.

y'=7

Significa che la retta tangente alla retta è la retta stessa.

Avendo dato come definizione di derivata la pendenza della retta tangente ad una curva, inevitabilmente l’affermazione precedente è vera.

Una cosa è fondamentale:

LA DERIVATA FORNISCE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA IN UN OPPORTUNO PUNTO DELLA CURVA

ESSERE TANGENTI IN UN PUNTO DELLA CURVA SIGNIFICA CALCOLARE IN QUEL PRECISO PUNTO QUANTO VALE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA

LA RETTA TANGENTE IN UN PUNTO POTREBBE BENISSIMO INTERSECARE LA CURVA IN UNA ALTRO PUNTO MA QUELLO CHE INTERESSA E’ L’INCLINAZIONE DELLA RETTA NEL PUNTO PRESO IN CONSIDERAZIONE.

Vedasi questo esempio:

Si vuole calcolare la retta tangente tangente alla curva:

y=x^{3}-2x^{2}-1 nel punto P(0:-1)

è la retta y=-1

 

14. Retta tangente alla curva y=7 nel punto P(3;4)

il punto P appartiene alla retta?

No!

y'=0

y'(3)=0

NON ESISTE alcuna retta che passa per P(3:4) e che sia tangente alla retta di partenza ossia con coefficiente angolare 0.

OSSERVAZIONE

Si potrebbe pensare che la retta x=3 sia proprio la retta tangente ma è sì una retta che tocca la retta in un punto, come pure tutte quelle appartenenti al fascio di rette y=mx-3m+4, ma NESSUNA presenta la stessa inclinazione  della retta y=7 o meglio tangente.

[Per tornare al testo del problema]

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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