Soluzione esercizio 1 sulla retta tangente ad una curva

Gino Severini

1) Il primo passo è verificare che il punto appartenga o meno alla curva fornita. Tale fatto fa sì che il problema si sviluppi utilizzando il significato geometrico della derivata o meno.

Nel caso specifico si nota che sostituendo alla x il valore 0 (zer0) ed alla y il valore 1 (uno) si ha:

1 = 0^{2}-0-1

ossia:

1=-1 che non essendo un’identità dimostra il fatto che il punto P non appartiene alla curva.

Non ha senso quindi calcolare la derivata prima della curva data.

Allora per determinare l’equazione della retta tangente eseguo i seguenti passi:

1.a) per determinare l’equazione delle rette passanti per il punto P  utilizzo la seguente forma:

y-y_{1}=m(x-x_{1})

nella quale sostituisco il valore dell’ordinata e dell’ascissa del punto P e diventa:

y-1 = m(x-0) ossia sviluppando i calcoli ho y-1=mx che mettendola in forma canonica diventa:

y=mx+1

ESSA RAPPRESENTA UN FASCIO DI RETTE (proprio) TUTTE PASSANTI PER IL PUNTO FORNITO

Adesso devo mettere in sistema la mia curva con il fascio di rette e PONENDO IL DETERMINANTE A ZERO trovo il valore di m delle rette tangenti alla curva data.

\{_{y=x^{2}-x-1}^{y=mx+1}&s=2

applico il metodo risolutivo del confronto (validissimo in questo caso e mi trovo la seguente equazione:

x^{2}-x-1=mx+1

quindi ordinandola rispetto alla x ho:

x^{2}-x-mx-1-1=0 adesso raggruppando la x e sommando i coefficienti senza x ho

x^{2}-x(1+m)-2=0

Adesso NON DEVO RISOLVERE L’EQUAZIONE MA PRENDERE SOLO IL DETERMINANTE

a = 1

b = 1+m

c= -2

ricordarsi che \Delta =b^{2}-4ac

per cui sostituendo ho: (1+m)^{2}-4(1)(-2) ossia 1+2m+m^{2}+8  che ordinandola per l’incognita m diventa:

m^{2}+2m+9=0

Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado

x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

si ha:

m_{1,2}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4-36}}{2}

e si nota subito che il determinante è più piccolo di zero.

Cosa significa? Che nessuna retta appartenente al fascio sarà MAI tangente alla curva data (in questo caso è una parabola).

Graficamente la soluzione appare immediata:

Ossia nessuna retta appartenente al fascio con centro in P(0;1) sarà mai tangente alla mia parabola.

About Francesco Bragadin

Insegno informatica, matematica e fisica. Ho terminato gli studi di ingegneria presso l'Università di Padova nel 1990 e mi occupo di analisi di reti, sviluppo siti web, applicazioni di app nell'ambito matematico.
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