Soluzioni ottimo livello di preparazione sulle derivate e tangenti

Pubblicato il 20 Febbraio 2012 da admin

18. $y=\sqrt{x}+\cfrac[l]{1}{\sqrt{x}}$ Come nell’esercizio 15) conviene esprimere la funzione precedente come:

$y=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$

adesso procedo con la derivata prima:

$y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

in conclusione:

$y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cfrac{1}{2\sqrt{x^{3}}}$

19. $y=(x-3)(x-5)(x-2)$ nel punto P(0;-30)

il primo passo è sviluppare la moltiplicazione tra binomi:

$y=x^{3}-10x^{2}+31x-30$

il punto P appartiene?

$-30=0^{3}-10\cdot0^{2}+31\cdot0-30=-30$

il punto P appartiene alla retta.

$y'=3x^{2}-20x+31$

$y'(0)=3\cdot0^{2}-20\cdot0+31=31=m$

$y=31x+q$ sostituisco q e risulta:

$-30=31\cdot0+q$ quindi $q=-30$

La retta tangente risulta

$y=31x-30$

20. $y=-3x^{2}+4x+1$ nel punto P(1;1)

il punto P appartiene alla curva?

$1=-3\cdot1^{2}+4\cdot1+1=2$

il punto P non appartiene alla retta!

Bisogna seguire il seguente procedimento:

Retta passante per il punto P

$(y-1)=m(x-1)$ ordinandola ho $y=mx-m+1$ metto in sistema il fascio di rette e la curva e poi pongo a zero il determinante.

$\begin{cases} y=-3x^{2}+4x+1\ y=mx-m+1 \end{cases}$

utilizzo il metodo del confronto

$-3x^{2}+4x+1=mx-m+1$

$-3x^{2}+4x-mx+m=0$

$-3x^{2}+x(4-m)+m=0$

$a=-3$

$b=4-m$

$c=m$

$\Delta=b^{2}-4ac=(4-m)^{2}-4(-3)(m)=16-8m+m^{2}+12m=0$

$m^{2}+3m+16=0$

$m_{1,2}=\cfrac{-3\pm\sqrt{9-16}}{2}$

il discriminante è più piccolo di zero e ciò significa che non esiste alcuna retta passante per P e tangente alla curva.

[testo di partenza]

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