TPSIT: Prima equazione di Maxwell

La teoria del campo elettromagnetico è sintetizzata in quattro leggi. Esse sono chiamate equazioni di Maxwell poiché fu Maxwell che, oltre a formulare la quarta legge, comprese che esse costituiscono il fondamento essenziale della teoria delle iterazioni elettromagnetiche.

La prima equazione di maxwell è la legge di Gauss per il campo elettrico.

Oltre che esprimerla in forma integrale:

\oint \vec{E}\cdot \vec{u}dS=\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

si può esprimere in forma differenziale.

E\cdot dS=E\cdot dy\cdot dz.

Considerando una variazione infinitesima di campo elettrico lungo una direzione la relazione precedente diventa:

\cfrac{\delta E}{\delta x}\cdot dx\cdot dy\cdot dz=\cfrac{\delta E}{\delta x}\cdot dV

Considerando le tre dimensioni e derivando la relazione iniziale:

\left (\oint \vec{E}\cdot \vec{u}dS \right )^{'}=\cfrac{dq}{\epsilon _{0}}

si ha:

\left ( \cfrac{\delta E_{x}}{\delta x}+ \cfrac{\delta E_{y}}{\delta y}+\cfrac{\delta E_{z}}{\delta z}\right )dV=\cfrac{dq}{\varepsilon _{0}}

ossia:

\cfrac{\delta E_{x}}{\delta x}+ \cfrac{\delta E_{y}}{\delta y}+\cfrac{\delta E_{z}}{\delta z}=\cfrac{\varrho }{\varepsilon _{0}}

con \varrho densità di carica volumetrica.

In termini matematici si può scrivere:

\nabla\cdot \vec{E}=\cfrac{\varrho }{\varepsilon _{0}}

ossia la divergenza del vettore campo elettrico è uguale alla densità di carica volumetrica divisa la costante dielettrica nel vuoto.

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TPSIT: applicazione teorema di Gauss

Campo elettrico di una lastra carica infinitamente estesa

\phi =E\oint ds=E\cdot 2A

con A superficie della base della lastra.

\phi =\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

per cui:

\cfrac{q}{\epsilon _{0}}=2A\cdot E

concludendo:

E=\cfrac{\sigma }{2\epsilon _{0}}

con \sigma densità di carica superficiale.

Nel caso di un condensatore che è formato da due piastre caricate con cariche opposte il campo elettrico all'interno delle due piastre vale:

E=\cfrac{\sigma }{\epsilon _{0}}

il campo elettrico di un condensatore all'esterno è nullo in quanto i campi elettrici all'esterno si sottraggono mentre si sommano all'interno.

Campo elettrico di un filo carico infinitamente lungo

\phi =E\oint dS=E\cdot 2\pi rh

con 2\pi r base del cilindro (filo) e h lunghezza del filo.

\phi =\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

unendo le due realzioni:

\cfrac{q}{\epsilon _{0}}=E\cdot 2\pi rh

da cui:

E=\cfrac{\lambda }{2\pi \epsilon _{0}r} con

\lambda =\cfrac{q}{h} densità lineare di carica.

Quindi il campo elettrico prodotto da un cavo diminuisce in maniera inversamente proporzionale alla distanza.

Nel caso in cui si inserisse un dielettrico aumenta il denominatore.

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TPSIT: Legge di Gauss per il campo elettrico

Si consideri una carica puntiforme q e si calcoli il flusso del campo elettrico E  da essa prodotta attraverso una superficie sferica avente il centro coincidente con la carica.

Il flusso, in generale, è il calcolo della quantità che attraversa una superficie chiusa.

Si divide la superficie in superfici molto piccole (o infinitesime) di aree dS_{1}, dS_{2}, dS_{3},...Su ciascuna di esse si può disegnare un vettore unitario u_{1}, u_{2},u_{3},...perpendicolare alla superficie in quel punto.

Siano \theta _{1}, \theta _{2}, \theta _{3},... (theta) gli angoli tra i vettori normali u_{1}, u_{2},u_{3},...e i vettori del campo V_{1}, V_{2}, V_{3},... in ogni punto della superficie.

Allora il flusso \phi del campo vettoriale \vec{V} attraverso la superficie S è:

\theta =V_{1}dS_{1}cos\theta _{1}+V_{2}dS_{2}cos\theta _{2}+V_{3}dS_{3}cos\theta _{3}+...

sapendo che V\cdot \cos \theta =\vec{V}\cdot \vec{u}
il flusso può essere scritto come:
\phi =\vec{V_{1}}\cdot \vec{u_{1}}dS_{1}+\vec{V_{2}}\cdot \vec{u_{2}}dS_{2}+\vec{V_{3}}\cdot \vec{u_{3}}dS_{3}+...

ma sapendo cheil prodotto di una base per un'altezza mi fornisce proprio un integrale la realazione precedente può essere scritta come:
\phi = \oint V\cos \theta dS=\oint \vec{V}\cdot \vec{u}dS
dove il segno di circoletto sull'integrale significa che è superficie chiusa.

Tutta questa premessa è servita per applicarla al campo elettrico.

Si calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica.

\vec{E}=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\vec{u}

Il vettore unitario normale ad una sfera coincide con il vettore unitario \vec{u} lungo la direzione radiale .

Perciò l'angolo \theta fra il campo elettrico e il vettore unitario normale è nullo e \cos \theta =1.

Il campo elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti della superficie sferica e che l'area della sfera è  4\pi r^{2}.

Il valore del flusso del campo elettrico risulta:

\phi =\oint EdS=E\oint dS=E\cdot S=\cfrac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\cdot \left ( 4\pi r^{2} \right )

concludendo

\phi =\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

La legge di Gauss è particolarmente utile quando si vuole calcolare il campo elettrico prodotto da distribuzioni di carica aventi determinate simmetrie geometriche ad esempio piastre, sfere, o fili percorsi da corrente.

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Python: test sulle funzioni

Christian Lassen Reise

Python: funzioni

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Python: verifica sulle funzioni

TEMA 1.
Si continui ad inserire una coppia di numeri interi finchè non si inserisce quella che rappresenta l'origine degli assi cartesiani o una coordinata è nulla. Ogni coppia rappresenta un punto.

Si memorizzino solo la prima coppia e l'ultima inserita.

Si definisca una funzione che calcoli la distanza tra i due punti  usando la formula della distanza. (si inserisca la funzione import math)

Si definisca la funzione che calcoli il valor medio tra i due punti.

Si mostri a video:

  • i due punti
  • la distanza tra i due punti
  • il valor medio

TEMA 2

Si continui ad inserire una coppia di numeri interi finchè non si inserisce la coppia (1,2). Ogni coppia rappresenta un punto.

Si memorizzino solo la prima coppia e l'ultima inserita.

Si definisca una funzione che calcoli la distanza tra i due punti  usando la formula della distanza. (si inserisca la funzione import math)

Si definisca la funzione che calcoli il valor medio tra i due punti.

Si mostri a video:

  • i due punti
  • la distanza tra i due punti
  • il valor medio

GRIGLIA DI VALUTAZIONE IN 100 esimi

Azione  Punteggio
Implementazione corretta della funzione  in generale 20
Implementazione corretta del ciclo di immissione dei dati 20
Implementazione corretta della funzione distanza tra due punti 20
Implementazione corretta della funzione punto medio 20
Inserimento dei commenti 10
Indentazione chiara del programma 10
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C++: Verifica di recupero

Brassaï

TEMA

Un notaio prende nota del numero presente su una pallina(numeri tutti interi positivi e non ripetuti) da un cesto. L'estrazione termina quando si estrae la pallina che riporta il numero 0. Solo al numero più grande si chiede di associare il nome di una persona e si associa ad essa un valore in euro.

Si vuole sapere il numero ed il nome associato.

Alla fine si moltiplica il valore in euro associato alla persona al numero estratto.

Se il valore trovato è superiore a 350 allora si incrementa il valore totale del 20%.

Implementare delle funzioni prototipo per

  • calcolare il valore massimo estratto
  • calcolare  il valore totale,
  • verificare se il valore supera i 350€
  • calcolo eventuale del valore incrementato del 20%

 

GRIGLIA DI VALUTAZIONE IN 100 esimi

Azione  Punteggio
Implementazione corretta della funzione prototipo in generale 10
Implementazione corretta della funzione in generale 10
Implementazione corretta del ciclo di immissione dei dati 15
Implementazione corretta delle variabili locali e globali 5
Implementazione corretta della funzione valore totale 15
Implementazione corretta della funzione superiore a 30% 15
Implementazione corretta della funzione calcolo finale 15
Inserimento dei commenti 10
Indentazione chiara del programma 5
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C++: Test sulle funzioni prototipo

Brassaï

C++ funzioni e debug

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TPSIT: esercizi su campo elettrico e legge di Coulomb

  1. Even after all this time,
    the sun never says
    to the earth,
    "You owe me."
    Look what happens
    with a love like that -
    it lights
    the whole world.
    ...Hafiz

    Due cariche elettriche, di cui una è 3.14 volte più grande dell'altra, sono poste nel vuoto alla distanza di 3,0 cm. Sapendo che esse si respingono con una forza uguale a 4,0N, calcolare il valore della carica minore. [3,6\cdot 10^{-7}C]

  2. Trovare la forza elettrica repulsiva agente fra due protoni di una molecola di idrogeno, sapendo che la distanza che li separa è 0,74\cdot 10^{-10}m. Fate il confronto con l'attrazione gravitazionale per la stessa distanza.
  3. Determinare l'intensità del campo elettrico in un punto in cui la forza agente su una carica di 10^{-8} C è di 5\cdot 10^{-4}N.
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TPSIT: potenziale elettrico di una carica puntiforme

Wifredo Lam

Per calcolare il potenziale elettrico prodotto da una carica puntiforme, poiché il campo elettrico è diretto radialmente, si usa la relazione:

E=-\cfrac{\delta V}{\delta r}

Il campo elettrico è definito come:

E=\cfrac{q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}

La relazione precedente diventa

\cfrac{q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}=-\cfrac{\delta V}{\delta r}

che equivalente alla seguente:

\int dV=-\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}}\int \cfrac{dr}{r^{2}}

integrando ed assumendo V=0 per r=\infty, come nel caso del campo gravitazionale, si ottiene:

V=\cfrac{q}{4\pi \varepsilon _{0}r}

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GPOI: Quanto produrre-->costo marginale, ricavo marginale, profitto

Per produrre una merce un'impresa deve sostenere dei costi. Questi possono essere suddivisi in

  • costi fissi C_{f} che sono indipendenti dalla quantità di merce prodotta (ad esempio ammortamento degli impianti, spese di riscaldamento, retribuzione del personale, ecc);
  • costi variabili C_{v} a loro volta suddivisi in costi variabili in modo proporzionale con la quantità di merce prodotta (ad esempio il costo delle materie prime) e costi variabili secondo funzioni non lineari (ad esempio le spese per la manutenzione degli impianti).

Il costo totale è uguale alla somma dei costi fissi e dei costi variabili C=C_{f}+C_{v}.

Si indichi con C(q) con q\geqslant 0 la funzione costo, dove q è la quantità del bene prodotta.

Alla funzione costo vengono di volta in volta assegnati diversi modelli di andamento, dai più semplici ai più complessi.

  • C(q)=aq+b semiretta
  • C(q)=aq^{2}+bq+c con a>0 e b,c\geqslant 0 arco di parabola
  • C(q)=aq^{2}+bq+c con a<0 e b,c> 0 arco di parabola, solo nella parte crescente
  • C(q)=aq^{3}-bq^{2}+cq+d con a>0 e b,c,d\geqslant 0 cubica
  • C(q)=ae^{bq} con a,b>0 esponenziale

Costo medio e costo marginale

Il costo medio o unitario è il rapporto tra il costo totale per la produzione della quantità q di merce e la quantità q stessa. Il costo medio è quindi uguale a:

C_{me}=\cfrac{C(q)}{q}

Dal punto di vista grafico, dato un punto A su una curva del costo totale, il corrispondente valore medio è dato dal coefficiente angolare della retta che unisce il punto A con l'origine O.

Esempio

Se il costo totale è dato da un costo fisso e da un costo variabile direttamente proporzionale alla quantità prodotta x. Si ha:

C(q)=aq+b

Dalla figura si osserva che al crescere della quantità prodotta, i costo medio diminuisce sempre più, in quanto diminuisce l'inclinazione della retta OA_{1}, OA_{2},OA_{3}.

 

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