Maturità 2017: quesito 1

Definito il numero E come:

(1)   \begin{equation*} E=\int_{0}^{1}xe^{x}dx \end{equation*}

dimostrare che risulta:

(2)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx=e-2E \end{equation*}

ed esprimere

(3)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx \end{equation*}

in termini di e ed E.

Prerequisiti:

  • conoscere l'integrazione per parti

Sviluppo:

La (2) la si risolve integrando per parti, ed utilizzo il seguente schema:

f(x)=x^{2} g(x)=e^{x}
f^{'}(x)=2x g^{'}(x)=e^{x}

 

(4)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx\left=\begin{matrix} x^{2}e^{x}\end{matrix}\right|_{0}^{1}-2\int_{0}^{1}xe^{x}dx= e-2E \end{equation*}

 

Anche la (3) la si risolve per parti ed utilizzo il seguente schema:

f(x)=x^{3} g(x)=e^{x}
f^{'}(x)=3x^2 g^{'}(x)=e^{x}

(5)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx\left=\begin{matrix} x^{3}e^{x}\end{matrix}\right|_{0}^{1}-3\int_{0}^{1}x^2e^{x}dx \end{equation*}

ed utilizzando le relazioni precedentemente trovare ho:

(6)   \begin{equation*} \int_{0}^{1}x^{3}e^{x}dx=e-3(e-2E)=e-3e+6E=-2e+6E \end{equation*}

 

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Maturità 2017: testo prova d'esame

Ecco il testo, domani pubblico tutto il procedimento commentato.

I043_ORD17

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Verifica finale di Excel

Marion Adams

Completare tutti gli esercizi presenti in questo file excel ed inviarlo, al termne dei lavori a francesco.bragadin@whymatematica.com

 

Verifica finale

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Geometria nello spazio: esercizio 1

Guido Borelli

Data la sfera di centro C(2,-3,0) e raggio 2 determinare le equazioni dei due piani tangenti e paralleli al piano 3x-y+z=0

Svolgimento

Essendo piano paralleli al piano dato soddisferanno alla relazione

\cfrac{3}{a}=-\cfrac{1}{b}=\cfrac{1}{c}

a=-3b

c=-b

L'equazione del piano diventa:

-3bx+by-bz+d=0

Adesso pongo la distanza tra il centro della sfera e i piani uguale alla lunghezza del raggio

r=\cfrac{\left |ac_^{x}+bc_{y}+cc_{z}+d  \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

sostituendo adesso i valori numerici si ha:

r=\cfrac{\left |-3b\cdot 2-3b+d  \right |}{\sqrt{9b^{2}+b^{2}+b^{2}}}=2

r=\cfrac{\left |-9b+d  \right |}{\sqrt{11b^{2}}}=2

Essendovi il modulo avrò le seguenti due equazioni

-9b+d=2b\sqrt{11} che ha come soluzione

d=b(2\sqrt{11}+9)

e

9b-d=2b\sqrt{11}

d=b(-2\sqrt{11}+9)

Le equazioni dei piani sono quindi:

-3x+y-z+2\sqrt{11}+9=0

-3x+y-z-2\sqrt{11}+9=0

Graficamente si ha:

 

 

 

 

 

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Geometria nello spazio: esercizio 3

Paul Klee

Data la retta di equazione:

\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=t \end{matrix}\right.

e la retta di equazione:

\left\{\begin{matrix} x+y+z-3=0\\ 2x-y=0 \end{matrix}\right.

ed il punto P(1,0,-2)

determinare l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.

Svolgimento

Perché esista tale piano le due rette devono essere complanari ed affinché che tale condizione sia soddisfatta è necessario che si intersechino in un punto.

E' sufficiente determinare il valore di t sostituendo le coordinate nella seconda retta:

\left\{\begin{matrix} t+2t+t-3=0\\ 2t-2ty=0 \end{matrix}\right.

t=\cfrac{3}{4}

ed il punto di intersezione esiste e vale:

T\left ( \cfrac{3}{4},\cfrac{3}{2},\cfrac{3}{4} \right )

Adesso trovando il piano che contiene le due rette posso determinare poi quello parallelo passante per il punto P.

Per determinare il piano che contiene le due rette è sufficiente prendere due punti di una retta ed un terzo dell'altra e trovare il piano passante per questi tre punti.

A(0,0,0) con t=0 e B(1,2,1) con t=1 appartengono alla prima retta mentre C(0,0,3) appartiene alla seconda retta.

Adesso sostituendo questi punti all'equazione generica del piano cartesiano

ax+by+cz+d=0

devo

\left\{\begin{matrix} d=0\\ a+2b+c=0\\ 3c+d=0 \end{matrix}\right.

che risolto dà:

\left\{\begin{matrix} d=0\\ c=0\\ a=-2b \end{matrix}\right.

L'equazione del piano diventa:

-2bx+by=0

divido per b

-2x+y=0

Adesso trovo il piano passante per il punto P

a-2c+d=0

e pongo la condizione che deve esser parallelo a quello appena trovato ossia

-\cfrac{2}{a}=\cfrac{1}{b}=\cfrac{0}{c}

-2b=a

c=0

d=2b

e l'equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette ha equazione:

-2x+y+2=0

 

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Geometria nello spazio: esercizio 2

Guido Borelli

Una sfera, il cui centro è il punto k(-2,-1,2) è tangente al piano \Alpha di equazione 2x-2y+z-9=0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Sviluppo

Il primo passo è determinare il raggio della sfera attraverso la determinazione della distanza tra il centro ed il piano:

r=\cfrac{\left | ak_{x}+bk_{y}+ck_{z}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

dove con k_{x},k_{y},k_{z} sono le tre coordinate del centro, e a,b,c,d sono i rispettivi coefficienti numerici di x,y,z ed il termine noto.

La relazione precedente diventa quindi:

\cfrac{\left | 2\cdot \left (-2  \right )+ \left (-2  \right )\cdot\left ( -1  \right )+1\cdot 2-9 \right |}{\sqrt{2^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1^{2}}}=\cfrac{\left | -4+2+2-9 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=3

L'equazione della sfera generica è:

\left ( x-k_{x} \right )^{2}+\left ( y-k_{y} \right )^{2}+\left ( z-z_{x} \right )^{2}=r^{2}

Sostituendo i valori numerici diventa:

\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}

metto a sistema l'equazione della sfera con quella del piano ed ho il punto di tangenza:

\left\{\begin{matrix} \left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}\\ 2x-2y+z-9=0 \end{matrix}\right.

se continuassi tale metodo mi troverei però un'equazione in due incognite infatti avrò:

5x^2+5y^2-22x+28y-8xy-4=0

Il metodo risolutivo è allora il seguente.

I coefficienti numerici del piano rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano, ed il centro rappresenta proprio un punto che appartiene alla retta cercata che avrà equazione parametrica:

\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=-1-2t\\ z=2+t \end{matrix}\right.

adesso si sostituiscono i valori nell'equazione del piano determinando t:

\left ( -2+2t \right )2-2\left ( -1-2t \right )+2+t-9=0

-4+4t+2+4t+2+t-9=0

t=1

Adesso si sostituisce il valore trovato nell'equazione parametrica del piano e si trova il punto d'intersezione.

x=0

y=-3

z=3

Graficamente si ha la seguente situazione:

 

 

 

 

 

 

 

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Test sui monomi

Guido Borelli

Verifica sui monomi

 

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Verifica conclusiva su Power Point e concetti di base sulla teoria dell'informazione

Guido Borelli

13 temi da sviluppare

  1. Tipi di rete LAN, WAN, MAN
  2. Trasmissione a pacchetti
  3. email (SMTP, POP3)
  4. Social Forum
  5. Tutela della salute: illuminazione, corretta postazione di lavoro, ambiente
  6. Sicurezza
  7. Virus
  8. CopyRight
  9. Hardware
  10. software
  11. Firma Digitale
  12. Documenti digitali
  13. Velocità di trasmissione e scaricamento file.

Il power Point dovrà contenere:

  1. Dieci slide
  2. almeno 4 immagini
  3. una diapositiva titolo
  4. una diapositiva Titolo e contenuto
  5. almeno un grafico (a piacere)
  6. almeno 5 forme
  7. almeno una nota per il relatore
  8. il numero di pagina ad esclusione della slide di tipo titolo
  9. la data solo nell'ultima diapositiva
  10. il nome su tutte le diapositive
  11. un indice con il link alle diapositive che lo sviluppano
  12. che ogni slide possa avere una transizione
  13. che ogni slide abbia un'animazione a scelta
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Approfondimenti Retta sul piano cartesiano in forma parametrica e vettore direzione

Guido Borelli

Normalmente una retta viene sempre definita nella forma

y= mx +q

o nella forma

ax+by+c=0

che viene utilizzata solo quando si deve determinare la distanza tra un punto ed una retta.

Che significato hanno a e b?

Essi rappresentano proprio le componenti del  vettore  v_{\perp }\left ( a;b \right ) perpendicolare alla retta.

Graficamente si vede benissimo tale fatto.

La retta 3x+2y+5=0

ha vettore v_{\perp }\left ( 3;2 \right )

Date due rette

ax+by+c=0

a'x+b'y+c=0

Condizione di parallelismo

Saranno parallele quando i due vettori saranno una combinazione lineare dell'uno rispetto all'altro quindi:

a=\alpha a'

b=\alpha b'

o meglio:

\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}

graficamente si vede la cosa:

date le rette

2x+2y+5=0

9x+6y+2=0

sono parallele

e si vede che i due vettori sono sovrapposti ed uno è proprio multiplo dell'altro.

Condizione di perpendicolarità

In seguito alla definizione di prodotto scalare tra due vettori, saranno perpendicolari due rette se

a\cdot a'+b\cdot b'=0

Graficamente.

Se si hanno le due rette

2x+2y+5=0 con m_{\perp }(2,2)

9x+6y+2=0 con v_{\perp }(9,6)

Retta in forma parametrica

Tale rappresentazione utilizza il vettore direzione. Vi sono infinite rappresentazione della retta in forma parametrica perché sono infiniti i vettori che sono paralleli ad una retta.

Tale vettore si chiama vettore direzione.

Ad esempio:

\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.

il vettore direzione ha le coordinate che sono i coefficienti di t

v(2,5)

 

E' molto più agevole avere la retta in forma parametrica per farne il grafico.

E' la rappresentazione parametrica della retta

5x-2y-11=0

Passaggio dalla forma parametrica alla forma implicita.

Si risolve il sistema in funzione di t e si confrontano i due valori di t trovati.

Ad esempio:

\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} t=\cfrac{x-3}{2}\\ t=\cfrac{y-2}{5} \end{matrix}\right.

\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-2}{5}

5x-15=2y-4

5x-2y-11=0

Passaggio dalla forma implicita alla forma parametrica

Vi sono vari metodi.

Uno è il seguente.

La forma implicita

ax+by+d=0

fornisce il vettore  v_{\perp }(a,b), il vettore direzione è perpendicolare a questo per cui avrà coordinate v(b,-a)

La forma parametrica generale è:

\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt\\ y=y_{0}+mt \end{matrix}\right.

dove v(l,m) è il vettore direzione e P(x_{0},y_{0}) sono le coordinate di un punto appartenente alla retta.

Ad esempio se ho la retta:

x+2y+5=0

il vettore v_{\perp }(1,2), il vettore direzione è v(2,-1),

\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+2t\\ y=y_{0}-t \end{matrix}\right.

Adesso prendo il punto P(0,-\cfrac{5}{2}) che appartiene alla retta.

\left\{\begin{matrix} x=0+2t\\ y=-\cfrac{5}{2} -t \end{matrix}\right.

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Distanza punto piano

Cole Rise

La distanza di un punto da un piano non è che la trasposizione nello spazio della distanza di un punto da una retta sul piano cartesiano.

La distanza punto retta sul piano cartesiano

Data la retta nella forma

ax+by+c=0

ed il punto P\left ( x_{p};y_{p} \right )

la distanza sarà:

d=\cfrac{\left | ax_{p}+by_{p}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

la distanza di un punto nello spazio e di un piano sarà

Dato un piano nella forma

ax+by+cz+d=0

ed il punto P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )

la distanza sarà:

d=\cfrac{\left | ax_{p}+by_{p}+cz_{p}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

 

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