Quando si affrontano le equazioni frazionarie e la semplificazione tra polinomi è inispensabile conoscere rispettivamente il m.c.m e M.C.D.
Ecco il primo esempio:
Come si sviluppa?
Si deve fare il m.c.m del denominatore per svilupparlo ossia:
se ci si ricorda la somma tra frazioni si è sviluppato lo stesso procedimento!
Sviluppare adesso i seguenti esercizi:
al denominatore vi sarà sempre il m.cm.!
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Applicazioni per il M.C.D.
al numeratore di dovrà fare il M.C.D!
1) 
2) 
Carlo Carrà
Si risolvano le seguenti disequazioni di primo grado:
![4 [5-2(1-y) ]+2(y-1)>0](https://www.whymatematica.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d02e815fa0881f67dca5c3f4a4ad071_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![5{ -1+4x-2 [ x-(2-x)-3]-x+2 }>3(x-1)-x+2](https://www.whymatematica.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efe1d527d4785fda489dd4012c6747fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Prerequisiti:
Renè Magritte – “Il castello dei Pirenei” – 1959
Siano date le seguenti funzioni:
Quali di queste notazioni sono equivalenti?
A) 
B) 
C) 
D) 
La risposta è la C infatti:
il grafico della funzione 
è
Il grafico di 
è
Quindi la risposta A) è da escludere
Il grafico di 
è
Quindi la risposta B) è da escludere
Il grafico di 
è:
Quindi anche la risposta D) è da escludere.
Il grafico di 
è:
Quindi la risposta è la C)!
Renè Magritte
1) 
2) l’unica difficoltà è trasformare in frazione i numeri decimali
[:it]
Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917
Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:
Esercizio 6.1.
___
Esercizio 6.2
___
Esercizio 6.3
___
Esercizio 6.4
___
Esercizio 6.5
___
Esercizio 6.6
___
Esercizio 6.7
___
Esercizio 6.8
___
Esercizio 6.9
___
Esercizio 6.10
[:en]
Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917
Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:
Esercizio 1.
___
Esercizio 2
___
Esercizio 3
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Esercizio 4
___
Esercizio 5
___
Esercizio 6
___
Esercizio 7
___
Esercizio 8
___
Esercizio 9
___
Esercizio 10
[:de]
Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917
Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:
Esercizio 1.
___
Esercizio 2
___
Esercizio 3
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Esercizio 4
___
Esercizio 5
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Esercizio 6
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Esercizio 7
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Esercizio 8
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Esercizio 9
___
Esercizio 10
[:]
Renè Magritte
Per essere in grado di sviluppare lo studio di funzione è molto utile seguire il seguente protocollo che vuole essere una guida in passi per arrivare al grafico finale.
1- Definire il dominio
2- Scrivere il segno della funzione
3- Verifica della presenza di asintoti verticali, orizzontali, obliqui attraverso i relativi limiti.
4- Determinazione dei massimi e minimi attraverso lo studio della derivata prima: annullamento della derivata prima mi fornisce l’ascissa dei punti di massimo o minimo relativi mentre lo studio della disequazione mi indica se effettivamente vi è un massimo o minimo e se è un massimo o minimo.
5- intersezioni con gli assi
CONCLUSIONE Grafico della funzione.
Per fare il grafico si seguano i seguenti passi.
1 – segnare i punti di massimo o minimo
2- segnare i punti di intersezione
3- disegnare con una linea tratteggiata gli eventuali asintoti
4- tracciare il grafico seguendo le indicazioni fornite da tutti i punti precedenti
Renè Magritte
Possono essere risolti con le metodologie che si ritengono più opportune.Per risolvere un limite comunque si deve cercare di sostituire il valore a cui tende la x all’interno della funzione, dopo si scegli la strada più opportuna.
(1) 
.
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
(11)
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
Renè Magritte
La regola di De L’Hospital è utilissima nel calcolo dei limiti che si presentano nella forma indeterminata.Si pensi che il marchese De l’Hospital visse nella metà del 1600 ed era allievo di Bernoulli; quest’ultimo fu un grande matematico svizzero esperto di calcolo differenziale e integrale: in tale famiglia sicuramente la matematica e la fisica eranon di casa. Il conosciuto teorema di Bernoulli, applicato nella dinamica dei fluidi e che giustifica il volo degli aerei, è stato elaborato dal figlio.
Ritengo fondamentale che la trattazione dell’analisi ponga l’argomento delle derivate dopo quello dei limiti e che quest’ultimi vengano spiegati tramite la teoria NSA; grazie a ciò l’applicazione del menzionato teorema ha la sua massima valenza.
Ecco il teorema:
Se sviluppando un limite ci si trova nella forma:
oppure nella forma:
allora si può applicare il teorema:
(1) 
ossia posso fare la derivata del numeratore e del denominatore
N.B. NON LA DERIVATA DEL QUOZIENTE DI FUNZIONE ma la DERIVATA DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE!
La (1) vale anche in questo caso:
(2) 
Esempio nel caso
=2
Esempio nel caso
Renè Magritte
Una retta sul piano può essere parallela all’asse delle ascisse (orizzontale), parallela all’asse delle ordinate (verticale) e quindi, conseguentemente anche obliqua.
In maniera analoga un asintoto può essere verticale, orizzontale ed obliquo.
Per la presenza di un asintoto obliquo DEVONO essere vere le seguenti due condizioni basta che una delle due non sia soddisfatta che l’asintoto non sia presente:
(1) 
che mi fornisce il coefficiente angolare della “retta” asintoto
(2) ![\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\left[f(x)-mx\right]=q](https://www.whymatematica.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f58cef7a9b9b4a21475f7792f623328_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ribadisco il fatto che è sufficiente che una delle due non sia vera ossia che mi dia un limite non finito affinché non vi sia il limite obliquo.
Ecco immediatamente un esempio:
sia 
allora applico la (1)
adesso applico la (2) per trovare la 
![\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\left[\cfrac{3x^{2}}{2x-1}-\cfrac{3}{2}x\right]=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{6x^{2}-3x(2x-1)}{(2x-1)\cdot2}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{6x^{2}-6x^{2}+3x}{(2x-1)\cdot2}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{3x}{4x-2}=\cfrac{3}{4}=q](https://www.whymatematica.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c7607f686ead3f6506f65e7541a9133_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
l’asintoto è:
Il grafico risulta:
Renè Magritte
Un asintoto oltre che verticale può essere anche orizzontale, ossia parallelo all’asse delle ascisse.
Per la sua presenza deve valere la seguente relazione:
(1) 
La (1) afferma che quando x assume valori molto grandi, infinitamente grandi, la funzione tende a un valore finito ossia ad un asintoto orizzontale.
Ecco alcuni esempi della presenza di asintoti verticali:
(2) 
in questo caso la (2) ci fornisce un asintoto orizzontale con valore
Per meglio evidenziare tale fatto ecco il grafico della funzione:
(3) 
in questo caso l’asintoto è:
Ecco il grafico della funzione:
