Dilatazione termica ed esercizi riepilogativi.

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

DILATAZIONE TERMICA

● Un ponte in ferro [λ = 1,2 • 10 -5(°C) -1] alla temperatura di 35 °C ha una lunghezza di 45 m. Trovare la sua lunghezza quando la temperatura è di 0°C.

● Un ponte in ferro,[λ = 1,2 • 10 -5(°C) -1] , ha una lunghezza di 45 m. Quale sarà la sua lunghezza quando la temperatura passerà da 0°C a 35 °C ?

ESERCIZI RIEPILOGATIVI SU PESO SPECIFICO E DENSITÀ.

● Un oggetto d’alluminio di 2 cm3 di volume, pesa 5,4 grammi. Calcola il suo peso specifico.

● Determina il volume di 7 Kg di benzina, sapendo che il peso specifico è di 700 Kg/m3.

● La densità del corpo umano è di circa 980 Kg/m3. Conoscendo il tuo peso ( cioè la tua massa) sei in grado di calcolare il volume che occupi?

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Applicazione immediata m.c.m e M.C.D

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

Quando si affrontano le equazioni frazionarie e la semplificazione tra polinomi è inispensabile conoscere rispettivamente il m.c.m e M.C.D.

Ecco il primo esempio:

\cfrac{1}{a^{4}}+\cfrac{1}{a^{10}}+\cfrac{1}{a^{16}}

Come si sviluppa?

Si deve fare il m.c.m del denominatore per svilupparlo ossia:

\cfrac{a^{12}+a^{6}+1}{a^{16}}

se ci si ricorda la somma tra frazioni si è sviluppato lo stesso procedimento!

Sviluppare adesso  i seguenti esercizi:

al denominatore vi sarà sempre il m.cm.!

1)  \cfrac{7}{a}+\cfrac{8}{b}+\cfrac{6}{ab}

2) \cfrac{7}{x}+\cfrac{8}{x^{2}}

3) \cfrac{3a}{5b}+\cfrac{5b}{3a}

4) \cfrac{1}{x^{2}}+\cfrac{1}{3xy}+\cfrac{1}{4a}

5) \cfrac{1}{2x}+\cfrac{1}{4y}+\cfrac{1}{8x}

Applicazioni per il M.C.D.

al numeratore di dovrà fare il M.C.D!

1) \cfrac{3x^{2}+4x}{x}

2) \cfrac{4a^{2}+4a^{6}+3a^{4}}{4ax}

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Le disequazioni: primi esercizi

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

Carlo Carrà

Si risolvano le seguenti disequazioni di primo grado:

  1. 3x-1<7
  2. 3(x-7)\geq\cfrac{1}{2}x
  3. 3(x+1)^2 \leq\cfrac{1}{3}(3x-1)^2
  4. 3\left(x-\cfrac{1}{2}\right) < 7(x+1)
  5. \cfrac{x^4-1}{x^2+1} \geq \cfrac{1}{4}(2x+1)^2
  6. (x+1)(x-1) \leq \cfrac{1}{9}(3x+6)^2
  7. \left(3x+6\right)^2 - \left(3x-6\right)^2 \leq 11\left(x+2\right)
  8. \left(4x+2\right)\left(4x-2\right) + \left(4x-2\right)\cdot 3\geq \left(4x-7\right)^2 + \left(6x+5\right)\cdot 3
  9. (x-1)(x-2)(x-3)-1>(x-1)^{3}-3x^{2}
  10. 4 [5-2(1-y) ]+2(y-1)>0
  11. 5{ -1+4x-2 [ x-(2-x)-3]-x+2 }>3(x-1)-x+2

Prerequisiti:

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Curiosità nello studio di funzione

Pubblicato il 14 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte – “Il castello dei Pirenei” – 1959

Siano date le seguenti funzioni:

Quali di queste notazioni sono equivalenti?

A) sqrt{x^{2}}=x

B) sqrt{x^{2}}=pm x

C) sqrt{x^{2}}=left | x right |

D) sqrt{x^{2}}=pm left | x right |

La risposta è la C infatti:

il grafico della funzione y=sqrt{x^{2}} è

Il grafico di y=x è

Quindi la risposta A) è da escludere

Il grafico di y=pm x è

Quindi la risposta B) è da escludere

Il grafico di y=pmleft | x right | è:

Quindi anche la risposta D) è da escludere.

Il grafico di y=left | x right | è:

Quindi la risposta è la C)!

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Esercizi sulla divisione tra polinomi

Pubblicato il 14 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte

1) frac{2}{5}y^{5}z^{3}-frac{3}{4}y^{3}z^{2}+frac{1}{2}y^{2}z^{5}:left ( -frac{2}{3}y^{2}z^{2} right )

2) l’unica difficoltà è trasformare in frazione i numeri decimali

left ( 1,2x^{6}y^{6}-1,4x^{4}y^{4}+frac{1}{5}x^{2}y^{2} right ):left ( -0,2xy^{2} right )

 

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[:it]I monomi e polinomi: soluzione agli esercizi [:en]I monomi e polinomi: soluzione degli esercizi (3.2)[:de]I monomi e polinomi: soluzione degli esercizi (3.2)[:]

Pubblicato il 10 Maggio 2012 da admin

[:it]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 6.1.

3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a
=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b

=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b

=\dfrac{35}{2}a + 10b

___

Esercizio 6.2

2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a

=(2+3)a^2+(5+5)a+5b+(7+4)

=5a^2+10a+5b+11

___

Esercizio 6.3

3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d

=27a+17b+4d

___

Esercizio 6.4

2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s

=30a+5b+7c+20d+43s

___

Esercizio 6.5

3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}

=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}

___

Esercizio 6.6

4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e

=9a+26b+4d+2e.

___

Esercizio 6.7

12a+12b+12a(a+1)

=(12+12)a+12b(a+1)

=24a+12b+12a^2.

___

Esercizio 6.8

2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c

=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c

=12a+12b+14c.

___

Esercizio 6.9

a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a

=abc+(7+9)ab+12abc+13a

=(1+12)abc+16ab+13a

=13abc+16ab+13a.

___

Esercizio 6.10

\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b

=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b

=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.[:en]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 1.

3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a
=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b

=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b

=\dfrac{35}{2}a + 10b

___

Esercizio 2

2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a

=(2+3)a^2+(5+10)a+5b+(7+4)

=5a^2+15a+5b+11

___

Esercizio 3

3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d

=27a+17b+4d

___

Esercizio 4

2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s

=30a+5b+7c+20d+43s

___

Esercizio 5

3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}

=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}

___

Esercizio 6

4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e

=9a+26b+4d+2e.

___

Esercizio 7

12a+12b+12a(a+1)

=(12+12)a+12b(a+1)

=24a+12b+12a^2.

___

Esercizio 8

2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c

=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c

=12a+12b+14c.

___

Esercizio 9

a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a

=abc+(7+9)ab+12abc+13a

=(1+12)abc+16ab+13a

=13abc+16ab+13a.

___

Esercizio 10

\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b

=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b

=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.[:de]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 1.

3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a
=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b

=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b

=\dfrac{35}{2}a + 10b

___

Esercizio 2

2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a

=(2+3)a^2+(5+10)a+5b+(7+4)

=5a^2+15a+5b+11

___

Esercizio 3

3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d

=27a+17b+4d

___

Esercizio 4

2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s

=30a+5b+7c+20d+43s

___

Esercizio 5

3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}

=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}

=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}

___

Esercizio 6

4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e

=9a+26b+4d+2e.

___

Esercizio 7

12a+12b+12a(a+1)

=(12+12)a+12b(a+1)

=24a+12b+12a^2.

___

Esercizio 8

2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c

=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c

=12a+12b+14c.

___

Esercizio 9

a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a

=abc+(7+9)ab+12abc+13a

=(1+12)abc+16ab+13a

=13abc+16ab+13a.

___

Esercizio 10

\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b

=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b

=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.[:]

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Studio di funzione: protocollo di sviluppo

Pubblicato il 9 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte

Per essere in grado di sviluppare lo studio di funzione è molto utile seguire il seguente protocollo che vuole essere una guida in passi per arrivare al grafico finale.

1- Definire il dominio

2- Scrivere il segno della funzione

3- Verifica della presenza di asintoti verticali, orizzontali, obliqui attraverso i relativi limiti.

4- Determinazione dei massimi e minimi attraverso lo studio della derivata prima: annullamento della derivata prima mi fornisce l’ascissa dei punti di massimo o minimo relativi mentre lo studio della disequazione mi indica se effettivamente vi è un massimo o minimo e se è un massimo o minimo.

5- intersezioni con gli assi

CONCLUSIONE Grafico della funzione.

Per fare il grafico si seguano i seguenti passi.

1 – segnare i punti di massimo o minimo

2- segnare i punti di intersezione

3- disegnare con una linea tratteggiata gli eventuali asintoti

4- tracciare il grafico seguendo le indicazioni fornite da tutti i punti precedenti

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Esercizi sui limiti

Pubblicato il 6 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte

Possono essere risolti con le metodologie che si ritengono più opportune.Per risolvere un limite comunque si deve cercare di sostituire il valore a cui tende la x all’interno della funzione, dopo si scegli la strada più opportuna.

(1) \underset{x\rightarrow4}{lim}\cfrac{x-4}{2x-8}.

(2) \underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}{lim}\cfrac{2x-1}{4x-2}

(3) \underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}

(4) \underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{x-1}{x^{2}-1}

(5) \underset{x\rightarrow2}{lim}\cfrac{x^{2}-2x}{\left(x-2\right)^{2}}

(6) \underset{x\rightarrow-4}{lim}\cfrac{4+x}{16-x^{2}}

(7) \underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+3}

(8) \underset{x\rightarrow\frac{1}{2}}{lim}\cfrac{\left(2x-1\right)^{2}}{6x-3}

(9) \underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{2x^{2}-x-1}{2x-2}

(10) \underset{x\rightarrow-\frac{1}{3}}{lim}\cfrac{27x^{3}+1}{3x+1}

(11) \underset{x\rightarrow-\frac{1}{3}}{lim}\cfrac{27x^{3}+1}{3x+1}

(12) \underset{x\rightarrow a}{lim}\cfrac{x^{2}-ax+4x-4a}{3x-3a}

(13) \underset{x\rightarrow-1}{lim}\cfrac{x^{2}+3x+2}{x+1}

(14) \underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{x-1}{x^{2}-6x+5}

(15) \underset{x\rightarrow3}{lim}\cfrac{x^{2}-6x-9}{x^{2}-2x-3}

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Forma indeterminata: regola di De L’Hospital

Pubblicato il 6 Maggio 2012 da admin
Renè Magritte

Renè Magritte

La regola di De L’Hospital è utilissima nel calcolo dei limiti che si presentano nella forma indeterminata.Si pensi che il marchese De l’Hospital visse nella metà del 1600 ed era allievo di Bernoulli; quest’ultimo fu un grande matematico svizzero esperto di calcolo differenziale e integrale: in tale famiglia sicuramente la matematica e la fisica eranon di casa. Il conosciuto teorema di Bernoulli, applicato nella dinamica dei fluidi e che giustifica il volo degli aerei,  è stato elaborato dal figlio.

Ritengo fondamentale che la trattazione dell’analisi ponga l’argomento delle derivate dopo quello dei limiti e che quest’ultimi vengano spiegati tramite la teoria NSA; grazie a ciò l’applicazione del menzionato teorema ha la sua massima valenza.

Ecco il teorema:

Se sviluppando un limite ci si trova nella forma:

\cfrac{0}{0}

oppure nella forma:

\cfrac{\infty}{\infty}

allora si può applicare il teorema:

(1) \underset{x\rightarrow c}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}

ossia posso fare la derivata del numeratore e del denominatore

N.B. NON LA DERIVATA DEL QUOZIENTE DI FUNZIONE ma la DERIVATA DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE!

La (1) vale anche in questo caso:

(2) \underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}

Esempio nel caso \cfrac{0}{0}

\underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{2x^{2}-2x}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}\cfrac{4x-2}{1}=2

Esempio nel caso \cfrac{\infty}{\infty}

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2x-1}{3x+1}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{2}{3}=\cfrac{2}{3}

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Limiti: asintoto obliquo

Pubblicato il 6 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte

Una retta sul piano può essere parallela all’asse delle ascisse (orizzontale), parallela all’asse delle ordinate (verticale) e quindi, conseguentemente anche obliqua.

In maniera analoga un asintoto può essere verticale, orizzontale ed obliquo.

Per la presenza di un asintoto obliquo DEVONO essere vere le seguenti due condizioni basta che una delle due non sia soddisfatta che l’asintoto non sia presente:

(1) \underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{f(x)}{x}=m

che mi fornisce il coefficiente angolare della “retta” asintoto

(2) \underset{x\rightarrow\infty}{lim}\left[f(x)-mx\right]=q

Ribadisco il fatto che è sufficiente che una delle due non sia vera ossia che mi dia un limite non finito affinché non vi sia il limite obliquo.

Ecco immediatamente un esempio:

sia f(x)=\cfrac{3x^{2}}{2x-1}

allora applico la (1)

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{\cfrac{3x^{2}}{2x-1}}{x}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{3x^{2}}{2x-1}\cdot\cfrac{1}{x}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{3x}{2x-1}=\cfrac{3}{2}=m

 

adesso applico la (2) per trovare la q

\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\left[\cfrac{3x^{2}}{2x-1}-\cfrac{3}{2}x\right]=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{6x^{2}-3x(2x-1)}{(2x-1)\cdot2}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{6x^{2}-6x^{2}+3x}{(2x-1)\cdot2}=\underset{x\rightarrow\infty}{lim}\cfrac{3x}{4x-2}=\cfrac{3}{4}=q

l’asintoto è:

y=\cfrac{3}{2}x+\cfrac{3}{4}

Il grafico risulta:

 

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