SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

[:it]Esercizi sugli integrali per sostituzione[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Renè Magritte

Esercizi per un livello sufficiente [6]

6.1. $\int \cfrac{1+e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$	$2\left ( e^{\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right )+k$
6.2. $\int \cfrac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}dx$	$2\sqrt{1-\cos x}+k$

Esercizi per un livello discreto [7]

7.1. $\int \cos x\sqrt{3+2\sin x}\cdot dx$	$\cfrac{1}{3}\sqrt{3+2\sin x}\left ( 3+2\sin x \right )+k$

Esercizi per un livello ottimo[9/10]

9.1. $\int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx$

$\ln \sqrt[3]{\left | 3x+\sqrt{9x^{2}-1} \right |}+k$

Soluzione dettagliata all’esercizio precedente[:]

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[:it]Integrali per sostituzione[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Renè Magritte

Gli integrali per sostituzione utilizzano il cambio o sostituzione di variabile per trovarsi in una situazione di più semplice risoluzione.

Tale metodo può sempre essere applicato a qualunque tipo di integrale sempre che tale sostituzione possa poi portare ad un integrale facilmente sviluppabile.

La cosa fondamentale è la seguente:

$f(x)=f(t)$

e quindi

$f^{'}(x)dx=f^{'}(t)dt$

$dx=\cfrac{f^{'}(t)}{f^{'}(x)}dt$

Ad esempio tale metodo può essere applicato al seguente integrale:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx$

pongo $x^{2}+1=t$

effettuo la derivata a destra e a sinistra

$2x\cdot dx=1\cdot dt$

$dx=\cfrac{1}{2x}dt$

Adesso sostituisco nell’integrale che diventa:

$\int 2x\left ( t \right )^{2}\cfrac{1}{2x}dt=\int t^{2}dt=\cfrac{t^{3}}{3}+k$

ma $t=x^{2}+1$

ed il risultato diventa:

$\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx=\cfrac{\left ( x^{2}+1 \right )^{3}}{3}+k$

Sostituzioni più comuni:

Integrale	Sostituzione
$\int \sqrt{x}dx$	$\sqrt{x}=t$
$\int f^{'}(x)\cdot f(x)dx$	$t=f(x)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$
$\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\cdot dx$	$t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$

[:]

[:it]Esercizi con potenze di numeri relativi [:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

George Grie

Esercizi per un livello sufficiente [6]

Calcolare le seguenti potenze

6.1. $\left ( -3 \right )^{2}$
6.2. $\left ( +\cfrac{1}{2} \right )^{3}$
6.3. $\left ( +\cfrac{1}{5} \right )^{2}$
6.4. $\left ( -3 \right )^{3}$
6.5. $\left ( -1 \right )^{7}$
6.6. $\left ( -\cfrac{1}{5} \right )^{2}$
6.7. $\left ( -\cfrac{1}{3} \right )^{3}$
6.8. $\left ( -\cfrac{1}{2} \right )^{5}$
6.9. $\left ( +4 \right )^{0}$
6.10. $\left ( +\cfrac{3}{4} \right )^{2}$
6.11. $\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{2}$

Stabilire solo il segno delle seguenti potenze

Potenza	Segno	Potenza	Segno
$\left ( +3 \right )^{5}$	+	$\left ( -10 \right )^{8}$
$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{0}$		$\left ( +\cfrac{3}{4} \right )^{0}$
$\left ( -\cfrac{1}{2} \right )^{4}$		$\left ( +4 \right )^{7}$
$\left ( +\cfrac{1}{9} \right )^{15}$		$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{11}$
$\left ( -\cfrac{1}{8} \right )^{7}$		$\left ( -\cfrac{3}{4} \right )^{12}$
$\left ( -\cfrac{2}{3} \right )^{7}$		$\left ( +1 \right )^{7}$
$\left ( +\cfrac{4}{3} \right )^{6}$		$\left ( -\cfrac{7}{13} \right )^{19}$
$\left ( +\cfrac{8}{5} \right )^{9}$		$\left ( -1 \right )^{13}$

[:]

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[:it]Potenze di numeri relativi[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

George Grie

Per sviluppare la potenza dei numeri relativi si richiamano le proprietà delle potenze con questa aggiunta:

ogni potenza di base positiva è sempre positiva ad esempio

$\left (+\cfrac{2}{3} \right )^{3}=+\cfrac{8}{27}$

mentre ogni potenza di base negativa:

è positiva se l’esponente è pari
è negativa se l’esponente è dispari

Esempio

esponente pari e base negativa –> risultato sempre positivo

$\left (-\cfrac{2}{3} \right )^{2}=+\cfrac{4}{9}$

esponente dispari e base negativa –> risultato sempre negativo

$\left (-\cfrac{2}{3} \right )^{3}=-\cfrac{8}{27}$ [:]

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[:it]Integrale e derivata: moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato[:]

Pubblicato il 19 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Claudio Souza Pinto

Solo attraverso l’utilizzo delle derivate e degli integrali è possibile comprendere le leggi del moto uniformemente accelerato e rettilineo uniforme.

Moto rettilineo uniforme

La velocità istantanea è definita come:

$v=\cfrac{dx}{dt}$

posso scrivere:

$v\cdot dt=dx$

integro da entrambi i lati:

$\int vdt=\int dx$

che è uguale a scrivere:

$v\int dt=\int dx$

$vt + k=x+k^{'}$

che è proprio la legge del moto rettilineo uniforme

$x=x_{0} +vt$

dove con $x_{0}$ ho sommato le due costanti che provengono dall’integrazione.

Moto uniformemente accelerato

l’accelerazione istantanea è definita come:

$a=\cfrac{dv}{dt}$

$a\cdot dt=dv$

integro entrambi i membri:

$\int a\cdot dt=\int dv$

$at+k=v+k^{'}$

$v=v_{0}+at$

ma $v=\cfrac{dx}{dt}$

che sostituita alla precedente su ha:

$\cfrac{dx}{dt}=v_{0}+at$

$dx=\left (v_{0}+at \right )dt$

integro entrambi i membri

$\int dx=\int \left (v_{0}+at \right )dt$

$x+k=v_{0}t+\cfrac{1}{2}t^{2}+k^{'}$

che messa nella forma più conosciuta ho:

$x=x_{0}+v_{0}t+\cfrac{1}{2}t^{2}$

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[:it]Funzioni e continuità: esercizio [:]

Pubblicato il 18 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Claudio Souza Pinto

Sia P un punto di una semicirconferenza di diametro AB=2 e sia K il punto di AB per il quale AK=AP. Posto $\widehat{PAB}=x$ , esprimi, in funzione di x, il rapporto fra l’area del cerchio inscritto nel triangolo APB e l’area del triangolo APK. Indicata con $f(x)$ la funzione che esprime tale rapporto:

determina il suo comportamento per P che tende ad A e a B e stabilisci se la funzione è continua rispettivamente a destra di A e a sinistra di B.
determina il suo dominio indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema e stabilisci se la funzione possiede asintoti.
studiare il segno e costruisci un probabile grafico.

PREREQUISITI

conoscere come determinare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo
le relazioni fondamentali tra il lato e l’angolo opposto od adiacente di un triangolo rettangolo
saper calcolare i limiti
conoscere le formule parametriche per il seno ed il coseno
conoscere la definizione di asintoto
saper tracciare un grafico di una funzione ed il relativo segno

SVILUPPO

Si ha la seguente situazione grafica:

Area del cerchio inscritto nel triangolo APB.

Si utilizza la seguente relazione che lega il raggio alle lunghezze dei lati del triangolo rettangolo.

$r=\cfrac{c_{1}+c_{2}-i}{2}$

(1) $AP=AB\cdot \cos x=2\cos x$

$PB=AB\cdot \sin x=2\cdot \sin x$

$AB=2$

$r=\cfrac{2\cos x+2\sin x-2}{2}=\cfrac{2\left ( \cos x+\sin x-1 \right )}{2}=\cfrac{\not 2\left ( \cos x+\sin x-1 \right )}{\not 2}$

ossia

$r= \cos x+\sin x-1$

Area del cerchio inscritto risulta:

(2) $A(cerchio)=\pi \left ( \cos x+\sin x-1 \right )^{2}$

Area del triangolo APK

AK=AP per ipotesi e già precedentemente trovata (1)

$AK=2\cdot \cos x$

$PP^{'}=AP\cdot \sin x=2\cdot \cos x\cdot \sin x$

$A(triangolo)=\cfrac{2\cdot \cos x\cdot 2\cdot \cos x\cdot \sin x}{2}=\cfrac{\not 2\cdot \cos x\cdot 2\cdot \cos x\cdot \sin x}{\not 2}$

ossia:

(3) $A(triangolo)=2\cdot \cos^{2} x\sin x$

Si ha la funzione cercata effettuando il rapporto tra la (2) e la (3)

(4) $f\left ( x \right )=\cfrac{\pi \left ( \cos x+\sin x-1 \right )^{2}}{2\cdot \cos^{2} x\sin x}$

la (4) si può opportunamente manipolare per non avere un situazione di indeterminatezza quando l’angolo varia dal valore nullo a 90°.

Si moltiplica il numeratore ed il denominatore per:

$\left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}$

$f\left ( x \right )=\cfrac{\pi \left ( \cos x+\sin x-1 \right )^{2} \cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

Si ha il quadrato della differenza di un binomio

$f\left ( x \right )=\cfrac{\pi \left [\left ( \cos x+\sin x-1 \right ) \cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right ) \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \left [\left ( \cos x+\sin x \right )^{2}-1 \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \left [ \cos^{2} x+\sin^{2} x +2\cdot \sin x\cdot \cos x-1 \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

ma $\cos^{2} x+\sin^{2} x=1$

per cui:

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \left [ 1 +2\cdot \sin x\cdot \cos x-1 \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \left [ \not 1 +2\cdot \sin x\cdot \cos x-\not 1 \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \left [2\cdot \sin x\cdot \cos x \right ]^{2} }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )= \cfrac{\pi \cdot 4\cdot \sin^{2} x\cdot \cos^{2} x }{2\cdot \cos^{2} x\sin x\cdot \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

semplificando opportunamente il numeratore con il denominatore la (4) diventa:

(5) $f\left ( x \right )= \cfrac{2\cdot \pi \cdot \sin x }{ \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

Adesso si può sviluppare il punto a.

Se il punto P si sposta verso A significa calcolare $x\rightarrow \cfrac{\pi }{2}$

Se il punto P si sposta verso B significa calcolare $x\rightarrow 0$

Quindi calcolare il seguente limite

$\underset{x\rightarrow\cfrac{\pi }{2}}{lim}\cfrac{2\cdot \pi \cdot \sin x }{ \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}=\cfrac{2\cdot \pi }{4}=\cfrac{\pi }{2}$

$\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{2\cdot \pi \cdot \sin x }{ \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}=\cfrac{2\cdot \pi\cdot 0 }{4}=0$

La funzione nei sui estremi non presenta discontinuità in quanto il valore del limite coincide con il valore della funzione in tali punti.

Per approfondire tale cosa il punto successivo lo rafforza.

Punto b

Adesso si studia la funzione (5) nei dettagli:

(5) $f\left ( x \right )= \cfrac{2\cdot \pi \cdot \sin x }{ \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

Si escludono dal dominio i valori che annullano il denominatore ossia bisogna risolvere l’equazione:

$\left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}$

I valori che annullano il quadrato sono gli stessi che annullano:

$\cos x+\sin x+1$

Per studiare gli zeri dell’equazione:

(6) $\cos x+\sin x+1=0$

uso le formule parametriche del seno e coseno ossia:

$\sin x=\cfrac{2t}{1+t^{2}}$ e $\cos x=\cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ con

$t=\tan \cfrac{x}{2}$

Siccome la tangente è definita ovunque tranne che per $x=k\pi +2k\pi$

bisogna verificare se tali valori risolvono la (6)

Sostituendo $\pi$ si ha:

$\cos \pi +\sin \pi +1=-1+0+1=0$

Si annulla per cui si hanno già dei valori da escludere dal dominio:

$x\neq k\pi +2k\pi$

Adesso risolvo l’equazione parametrica:

$\cfrac{2t}{1+t^{2}}+\cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+1=0$

facendo il minimo comune multiplo e togliendo il denominatore che non si annulla mai nel campo dei numeri reali mi ritrovo questa equazione:

$2t+1-t^{2}+1+t^{2}=0$

che si riduce a:

$t=-1$

$\tan \cfrac{x}{2}=-1$

che si annulla per

$\cfrac{x}{2}=\cfrac{3}{4}\pi +k\pi$

ossia

$x=\cfrac{3}{2}\pi +2k\pi$

Ricapitolando il dominio di

(5) $f\left ( x \right )= \cfrac{2\cdot \pi \cdot \sin x }{ \left ( \cos x+\sin x+1 \right )^{2}}$

è:

$\mathit{D}\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq \cfrac{3}{2}\pi +2k\pi ; x\neq k\pi +2k\pi \right \}$

i valori che annullano il denominatore sono i punti che corrispondono agi asintoti verticali. Non vi sono asintoti orizzontali in quanto è indeterminato il limite per $x\rightarrow \pm \infty$ . Non vi sono nemmeno asintoti obliqui per lo stesso motivo precedente.

Punto c

Per studiare il segno è sufficiente studiare il segno del numeratore in quanto il denominatore è sempre positivo.

La funzione seno è sempre positiva per $2k\pi \leq x\leq \pi +2k\pi$ .

Il dominio lo si è già trovato per cui l’andamento della funzione è il seguente:

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[:it]Verifica sulle proporzioni: base[:]

Pubblicato il 16 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Claudio Souza Pinto

Tale test vuole cercare di stimolare le conoscenze sulla base delle proporzioni; il passo successivo è quello di affrontare i problemi più complessi ma solo dopo aver affrontato con sicurezza questo test. [WpProQuiz 42]

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[:it]Soluzioni espressioni somma numeri relativi[:]

Pubblicato il 14 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Claudio Souza Pinto

6.1. (+3)+(-5)+(-6)

sviluppo le parentesi attraverso la moltiplicazione tra i segni e quindi diventa:

+3-5-6=-8

6.2. (+8) + (-10)+(+11)

+8-10+11=+9

6.3. (-1)+(-3)+(-7)

-1-3-7=-11

6.4. (-2)+(+7)+(-8)

-2+7-8=-3

6.5. $\left ( +\cfrac{5}{3} \right )+\left ( -\cfrac{1}{4} \right )+\left ( \cfrac{2}{3} \right )$

come primo sviluppo prima i segni:

$+\cfrac{5}{3} -\cfrac{1}{4}+ \cfrac{2}{3}$

effettuo il m.c.m.

$\cfrac{5\cdot 4-1\cdot 3+2\cdot 4}{12}$

sviluppo il prodotto

$\cfrac{20-3+8}{12}$

$\cfrac{25}{12}$

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[:it]Retta[:]

Pubblicato il 13 Febbraio 2017 da admin

[:it]Quando unisco due punti creo un segmento, se questo viene prolungato ai suoi estremi creo una retta.

Una retta nello spazio, lasciata senza alcun riferimento, serve a poco per cui viene sempre disegnata sul piano cartesiano che mette in relazione una cosa in funzione di un’altra:

il numero di vendite in funzione dei giorni
gli ingredienti di una torta in funzione del tipo di torta
il numero di passeggeri in funzione del costo del biglietto
il numero di studenti in funzione della scuola di provenienza
le promozioni in funzione della classe.

Una retta mette in relazione l’asse delle y con l’asse delle x.

In generale una retta viene scritta come:

(1) $y = m \cdot x + q$

$m$ prende il nome di coefficiente angolare in quanto esso mi fornisce l’inclinazione della retta.

$q$ prende il nome di ordinata all’origine perché è il valore dell’intersezione della retta con l’asse delle ordinate.

Le rette hanno quindi sempre equazione

(2) $a \cdot x + b \cdot y + c=0$

ma comunemente si adotta la forma (1) perché fornisce molte più informazioni della forma (2).

Come faccio a rappresentare una retta sul piano cartesiano?

Fondamentale: sono sufficienti due punti per rappresentare una retta!

SOLO DUE ossia è sufficiente prendere un valore a caso di x ed uno di y oppure due di x o due di y, l’altra incognita si trova partendo dall’equazione della retta.

Ad esempio:

$y= 2 \cdot x + 2$

Metodo intersezione con gli assi anche illustrato nel video relativo

prendo il valore $x = 0$ troverò che $y = 2 \cdot 0 + 2=2$ ed ho trovato il punto A(0;2).
Poi prendo y=0 allora avrò $0 = 2 \cdot x + 2$ ossia $x = -1$ per cui il secondo punto è B(-1;0).