SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

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Renè Magritte

Un esercizio classico sul piano cartesiano è identificare la distanza tra due punti.

Per fare questo è sufficiente applicare sempre la seguente formula:

con e

La cosa importante è mantenere sempre la differenza tra le coordinate.

Ad esempio dati i seguenti due punti A(1;0) e B(0;1); bisogna calcolare la distanza tra questi due punti:

 che è circa 1,41.

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Renè Magritte

Un esercizio classico sul piano cartesiano è identificare la distanza tra due punti.

Per fare questo è sufficiente applicare sempre la seguente formula:

con e

La cosa importante è mantenere sempre la differenza tra le coordinate.

Ad esempio dati i seguenti due punti A(1;0) e B(0;1); bisogna calcolare la distanza tra questi due punti:

 che è circa 1,41.

1) Calcola la distanza tra A(3;4) e B (1;2)

2) Calcola la distanza tra A(5,4) e B(8,4)

3) Calcola la distanza tra A(-2,3) e B(4,3)

4) Calcola la distanza tra A(3,5) e B(-6,-4)

5) Calcola la distanza tra A(-5,0) e B(-8,2)

6) Calcola la distanza tra A(-1/2,-1/2) e B(1,1)

[:de]

Renè Magritte

Un esercizio classico sul piano cartesiano è identificare la distanza tra due punti.

Per fare questo è sufficiente applicare sempre la seguente formula:

con e

La cosa importante è mantenere sempre la differenza tra le coordinate.

Ad esempio dati i seguenti due punti A(1;0) e B(0;1); bisogna calcolare la distanza tra questi due punti:

 che è circa 1,41.

1) Calcola la distanza tra A(3;4) e B (1;2)

2) Calcola la distanza tra A(5,4) e B(8,4)

3) Calcola la distanza tra A(-2,3) e B(4,3)

4) Calcola la distanza tra A(3,5) e B(-6,-4)

5) Calcola la distanza tra A(-5,0) e B(-8,2)

6) Calcola la distanza tra A(-1/2,-1/2) e B(1,1)

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File/Rene%20Magritte%20-%20The%20Happy%20Hand%20.JPG” alt=”” width=”277″ height=”214″ data-bm=”71″ /> Renè Magritte

Il piano cartesiano consente di rappresentare visivamente l’andamento di una variabile rispetto ad un’altra.

Ad esempio posso rappresentare sul piano cartesiano l’andamento nel tempo del numero di pasti che vengono preparati ogni giorno all’interno di una mensa. Se questo andamento rappresenta una ciclicità (ripetizione dell’andamento della curva) si possono prevedere le quantità da acquistare ed un eventuale possibilità di ottimizzare le risorse o fare nuovi investimenti.

Il piano cartesiano venne introdotto da Cartesio (matematico francese) nel 1637: egli cercò cos’ di fondere l’algebra con la geometria.

Cogito ergo sum

E’ una delle frasi celebri di Cartesio che mette in evidenza che solo pensando posso dimostrare di distinguermi da altre forme di vita e posso migliorare la mia condizione.

Nomenclatura:

Asse x o asse delle ascisse è quella orizzontale.

Asse y o asse delle ordinate è quella verticale.

Un punto sul piano cartesiano è identificato da due numeri o coordiate la prima è sempre riferita alle x, la seconda alle y e se ce ne fosse una terza alle z.

Un punto quindi si identifica in tale maniera P(2;3) non si mette l’uguale vicino alla P ma direttamente la parentesi e i due numeri divisi o da un punto e virgola o da una virgola soltanto. Si fisssa il numero 2 sulle x e si tira su una riga verticale. Si fissa il 3 sull’asse delle y e si tira una riga oriozzontale: il punto d’incrocio rappresenta il punto

P(2;3)

L’applicazione immediata è nella cartografia che non dimentichiamo ebbe un grandissimo sviluppo proprio nel bacino del mediterraneo e nella nostra penisola famosa per le Repubbliche marinare (Venezia, Genova, Amalfi e Pisa).

[:de]

Renè Magritte

Il piano cartesiano consente di rappresentare visivamente l’andamento di una variabile rispetto ad un’altra.

Ad esempio posso rappresentare sul piano cartesiano l’andamento nel tempo del numero di pasti che vengono preparati ogni giorno all’interno di una mensa. Se questo andamento rappresenta una ciclicità (ripetizione dell’andamento della curva) si possono prevedere le quantità da acquistare ed un eventuale possibilità di ottimizzare le risorse o fare nuovi investimenti.

Il piano cartesiano venne introdotto da Cartesio (matematico francese) nel 1637: egli cercò cos’ di fondere l’algebra con la geometria.

Cogito ergo sum

E’ una delle frasi celebri di Cartesio che mette in evidenza che solo pensando posso dimostrare di distinguermi da altre forme di vita e posso migliorare la mia condizione.

Nomenclatura:

Asse x o asse delle ascisse è quella orizzontale.

Asse y o asse delle ordinate è quella verticale.

Un punto sul piano cartesiano è identificato da due numeri o coordiate la prima è sempre riferita alle x, la seconda alle y e se ce ne fosse una terza alle z.

Un punto quindi si identifica in tale maniera P(2;3) non si mette l’uguale vicino alla P ma direttamente la parentesi e i due numeri divisi o da un punto e virgola o da una virgola soltanto. Si fisssa il numero 2 sulle x e si tira su una riga verticale. Si fissa il 3 sull’asse delle y e si tira una riga oriozzontale: il punto d’incrocio rappresenta il punto

P(2;3)

L’applicazione immediata è nella cartografia che non dimentichiamo ebbe un grandissimo sviluppo proprio nel bacino del mediterraneo e nella nostra penisola famosa per le Repubbliche marinare (Venezia, Genova, Amalfi e Pisa).

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1) Un capitale scade fra tre anni e 7 mesi. Il suo valore attuale, calcolato con sconto commerciale al tasso del 9,5% è di 989,37€. Calcola il capitale.

2) Il capitale di 1080€ scade fra 2 anni e 18 mesi. Il suo valore attuale con sconto commerciale è di €907,31. A quale tasso è stato concesso lo sconto?

3) Il capitale di 975€ scade fra 101 giorni. Il suo valore attuale con sconto comemrciale è di 944,14€. A quale tasso è stato concesso lo sconto?

4) Il capitale di 3320€ scade fra un certo tempo. Il suo valore attuale, calcolato con sconto commerciale al tasso del 9,6% è di €2966,08. Fra quanto tempo scade quel capitale?

5) Una cambiale di €440 viene scontata 20 giorni prima della scadenza. Il valore attuale ricavato è di €425,33. A quale tasso è stato concesso lo sconto semplice?

6) Una cambiale di €1880 viene scontata al tasso del 7,25%. Il valore attuale ricavato è di 1771. Calcola quanto tempo prima della scadenza è stata effettuata l’operazione di sconto semplice.

7) Calcola il valore attuale con sconto composto al 16% del capitale di €800 esigibile fra 8 anni.

8) Calcola il valore attuale con sconto composto al 6% del capitale di €980 esigibile fra 4 anni, 5 mesi e 18 giorni.

9) Calcola il valore attuale con sconto composto al 6,2% del capitale di €1060 esigibile fra 5 mesi  e 18 giorni

10) un capitale scade fra 120 giorni. Il valore attuale calcolato al 9% e con sconto semplice. supera di 900€ quello calcolato con sconto commerciale, sempre allo stesso tasso. Calcola il capitale.

11)Si considerino i seguenti capitali 380€ esigibili fra 1 anno e 5 mesi, 740€ esigibili fra due anni. Determiona il valore attuale complessivo nel caso in cui usando un tasso del 9%:

a) il primo venga scontato con sconto commerciale e il secondo con sconto composto;

b) entrambi vengano scontati con sconto comemrciale;

c) entrambi vengano scontati con sconto composto.

12)Una persona deve incassare la somma di 4444 fra 3 anni e 1 mese. Cede oggi questo diritto rivevendo il valore attuale con sconto commerciale al tasso dell’11%. Se, anzichè calcolare il valore attuale con sconto commerciale si calcolasse il valore attuale con sconto composto, a quale tasso occorrerebbe scontare per avere lo stesso risultato di prima?

Sconto composto

1) Calcola il valore attuale con sconto composto del capitale di 1320€, che scade fra 5 anni, al tasso del 6%.

2) Calcola il valore attuale con sconto composto al 5,2% del capitale di 2160€ esigibile fra 11 anni.

3) Calcola il valore attuale con sconto composto al 7,35% del capitale di 3400€, che scade fra 8 anni.

L’ultima tipologia di sconto è quello composto che, come dice il nome stesso,  fa riferimento al relativo interesse.

Nell’interesse composto ho:

La formula riassuntiva dello sconto composto è:

Dividendo entrambi i membri per mi trovo il valore attuale

applicando la definizione di sconto ()

1) Applico lo sconto semplice, calcola il valore attuale al tasso del 6% di un capitale di 400€ con scadenza di 2 anni .

2) Sempre con sconto semplice, ho un tasso del 5,39%, calcola il valore attuale per un capitale di 3600€ che scade tra 3 anni e 6 mesi.

3) Sempre con sconto semplice, si calcoli il valore attuale al tasso del 7,25% di un capitale di 420€ che scade tra 8 mesi e 10 giorni.

4) Sempre con sconto semplice, calcolare il valore attuale con sconto semplice al tasso del 5,8% di un capitale di 980€ esigibile tra 1 anno 3 mesi e 25 giorni.

Adesso un esercizio leggermente più difficile:

5) Cacolare quale tasso è stato applicato nel caso in cui si abbia un capitale di 500€ con scadenza tra 2 anni, 4 mesi, dietro ad un incasso (valore attuale) di 468,34€.

Nello sconto commerciale si fa un grande richiamo all’interesse semplice.

Nell’interesse semplice si aveva che M = C (1 + it) dove con M si identifica il capitale aumentato dell’interesse ossia il montante.

Nello sconto semplice invece che pensare ad M penso a C per cui applicando la formula in maniera uguale ho:

C = V(1 + it)

La formual inversa (vedasi argomento sulle equazioni di I grado) divido sia a destra che a sinistra per (1 + it) ed ho che

(1)       V = C / (1 + it)

Ricordando che:

S = C – V

sostituendo la (1) nella S = C- V ed applicando il minimo comune multiplo tra binomi (aiuto?????) posso dire che:

S = Cit / (1+ it)

Ecco i passaggi per arrivare alla formula precedente:

spiegazione

Altre formule inverse necessarie allo sviluppo degli esercizi.

Partendo dalla (1) devo trovare il tasso o il tempo.

Moltiplico a sinistra e a destra per (1+i*t) ed avrò:

C = V(1 + i*t) = V + V*i*t

V*i*t = C -V

t = C-V / V*i

oppure

i = C-V /V*t

A questo punto ho tutte le formule.

1) Considerando uno sconto commerciale, calcolare il valore attuale con un capitale di 900€ che scade tra due anni al tasso del 10%.

2) Calcolare il valore attuale con sconto commerciale di un capitale di  765€ che scade tra 7 mesi al tasso del 12,4%.

3) Calcola il valore attuale con uno sconto commerciale di un capitale di 600€ che scade tra 56 giorni al tasso del 6%.

4) Calcola il valore attuale con sconto commerciale del capitale di 950€ che scade tra 2 anni e 11 mesi al tasso del 4,4%.

5) Un capitale scade tra 3 anni e 7 mesi. Il suo valore attuale, calcolato con sconto commerciale al tasso del 5% è di 1000€. Calcola il capitale.

6) Calcola il valore attuale con sconto commerciale dei seguenti capitali:

a) 430€ che scade fra 4 anni al tasso del 6%

b) 520€ che scade fra 5 mesi, al tasso del 6,7%

c) 740€ che scade tra un anno, 5 mesi e 20 giorni. al tasso del 5,8%.

7) Una cambiale di 380€ viene scontata di 120 giorni prima della scadenza; sconto commerciale , tasso 8%. Calcola il valore attuale ricavato.

Lo Sconto commerciale è direttamente proporzionale al  capitale ed al tempo.

dove

S = sconto

C = Capitale

d = tasso di sconto

t = tempo

Il valore attuale è dato sempre dal capitale a cui sottraggo lo sconto:

raccogliendo la C il valore attuale diventa:

o se abbiamo il valore attuale e si vuole sapere quant’era il capitale iniziale prima dello sconto si ha:

Il concetto di sconto, che comunemente si pensa, è quello associato al momento della contrattazione nell’acquisto di una merce; la domanda che si pone spesso al commerciante è: che sconto potrei avere?

La definizione, nel campo della matematica finanziaria, è leggermente diverso.

Nomenclatura indispensabile:

S = sconto

C = capitale o somma a scadenza

V = Valore attuale o somma percepita in questo momento.

In pratica si deve pensare sempre di essere in questa situazione:

Ho chiesto un prestito e devo restituire una certa somma (con un interesse); mi trovo nella condizione di poter restituire la somma subito e colui il quale mi ha prestato la cifra, l’avrà prima della scadenza. Sarebbe auspicabile che si concedesse uno sconto avendo avuto la cifra prima del tempo.

La formula che esprime questa situazione in maniera sintetica è:

S = C – V

Sconto è uguale al Capitale (futuro) a cui sottraggo il la cifra che adesso restituisco (valore attuale).

Si hanno tre tipi di sconto: sconto commerciale, sconto semplice e sconto composto.