Soluzioni agli esercizi sulla derivata delle funzioni polinomiali e irrazionali

Pubblicato il 5 Febbraio 2012 da admin

Fortunato Depero

Queste sono le soluzioni agli esercizi precedenti:

1. $y=x^{3}-2x^{2}-x$

$y'=3x^{2}-2\cdot2x^{1}-1x^{0}$

e sviluppando le moltiplicazioni e sapendo che qualunque numero elevato alla zero dà o (zero) si ha:

$y'=3x^{2}-2\cdot2x-1$

2. $y=7x^{5}-x^{4}-x^{2}$

$y'=35x^{4}-4x^{3}-2x^{1}$

x elevato alla uno non si scrive per cui il risultato diventa:

$y'=35x^{4}-4x^{3}-2x$

3. $y=8x^{3}-3x^{5}-6x^{7}+9x^{9}$

$y'=24x^{2}-15x^{4}-42x^{6}+81x^{8}$

4. $y=x^{-10}-3x^{-5}-7x^{-7}+8x^{-8}$

A prescindere dal segno dell’esponente la regola può essere applicata pedissequamente:

$y'=-10x^{-11}+15x^{-6}+49x^{-8}-64x^{-9}$

E’ un uso comune non mantenere l’esponente della variabile negativa per cui la forma corretta è la seguente:

$y'=-10\cfrac{1}{x^{11}}+15\cfrac{1}{x^{6}}+49\cfrac{1}{x^{8}}-64\cfrac{1}{x^{9}}$

5. $y=1000$

$y'=0$

DA RICORDARSI SEMPRE CHE LA DERIVATA PRIMA DI UNA COSTANTE E’ SEMPRE ZERO

6. $y=\cfrac{1}{3}x^{3}$

$y'=\cfrac{1}{3}\cdot3\cdot x^{2}$

che semplificando i 3 diventa semplicemente

$y'= x^{2}$

7. $y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2x^{\frac{1}{2}}+5x^{\frac{1}{5}}$

$y'=x^{6}+x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{4}{5}}$

che seguendo il consiglio precedente sarebbe meglio scriverla come:

$y'=x^{6}+\frac{1}{x\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

non è ancora corretta e quindi si esegue il seguente passo:

$y'=x^{6}+\cfrac{1}{\sqrt{x}}+\cfrac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}$

8. $y=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

$y'=10x^{9}+9x^{8}+8x^{7}+7x^{6}+6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1$

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