Trasformata di Laplace esercizi

Trovare l’antitrasformata di Laplace di

a) f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}

b) f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}

Sviluppo

a) \cfrac{1}{s^{3}}=L\left [ \cfrac{x^{2}}{2!} \right ]

adesso uniamo il tutto e si ha che:

f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}=L\left [\cfrac{(x-5)^{2}}{2!}\cdot H(x-5) \right ]

con H(t-5) è la funzione gradino unitario di Heaviside che è definita così:

H\left ( x-5 \right )=\left{\begin{matrix} 1 & x\geq 5\ 0 & x<5 \end{matrix}\right.

b) Questo secondo esercizio è praticamente uguale al precedente

f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}=L\left [ \cfrac{\left ( t-5 right )^{3}}{6}e^{2(t-5)}cdot H(t-5) \right ]

In particolare notare che l’argomento dell’esponenziale è uguale all’orgomento dell’elevazione al quadrato ed il 2 all’esponente corrisponde al 2 presente al denominatore della trasformata.

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