Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione (problema 1)

Fortunato Depero

1) Dato un triangolo i cui angoli ( $alpha;beta;gamma$ ) seguono le seguenti relazioni:

$cosalpha=-cfrac{1}{sqrt{3}}$ con $2pi<alpha<cfrac{pi}{2}$

$cosbeta=cfrac{5}{6}$ con $0<beta<cfrac{pi}{2}$

Determinare il $singamma$ .

Sviluppo:

$alpha+beta+gamma=pi$ ossia

$gamma=pi-(alpha+beta)$

devo determinare:

(1) $singamma=sinleft[pi-(alpha+beta)right]=sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta$

in cui ho utilizzato le formule di addizione.

siccome in trigonometria vale la relazione fondamentale che è la diretta conseguenza del teorema di Piragora:

$sin^{2}alpha+cos^{2}alpha=1$

allora

$sinalpha=pmsqrt{1-cos^{2}alpha}=pmsqrt{1-left(-cfrac{1}{sqrt{3}}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{1}{3}}=pmsqrt{cfrac{2}{3}}$

devo prendere il segno positivo o negativo?

Siccome il $sinalpha$ è positivo per $2pi<alpha<cfrac{pi}{2}$ allora prendo il segno positivo ed ho quindi:

(2) $sinalpha=sqrt{cfrac{2}{3}}$

In maniera analoga ho:

$sinbeta=pmsqrt{1-left(cfrac{5}{6}right)^{2}}=pmsqrt{1-cfrac{25}{36}}=pmsqrt{cfrac{11}{36}}=pmcfrac{sqrt{11}}{6}$

Prendo il segno positivo perchè $sinbeta$ è positivo per $0<beta<cfrac{pi}{2}$

quindi:

(3) $sinbeta=cfrac{sqrt{11}}{6}$

Adesso sostituisco la (2) e la (3) nella (1) prendendo anche i dati di partenza e risulta:

$sqrt{cfrac{2}{3}}cdotcfrac{5}{6}-cfrac{sqrt{11}}{6}cdotcfrac{1}{sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}$

razionalizzando (ossia moltiplicando per $sqrt{3}$ sia il numeratore che il denominatore) il risultato conclusivo diventa:

$cfrac{5sqrt{2}-sqrt{11}}{6sqrt{3}}=cfrac{5sqrt{6}-sqrt{33}}{18}$

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