Maturità 2019: primo problema – secondo punto

Pubblicato il 21 Giugno 2019 da admin

Si assuma,d’ora in avanti, di avere $a = 1$ e $b = −1$ .

Studiare le due funzioni così ottenute
veriﬁcando che il graﬁco di $g$ ammette un centro di simmetria
i graﬁci di $f$ e $g$ sono tangenti nel punto B(0,−1)
determinare inoltre l’area della regione piana S delimitata dai graﬁci delle funzioni $f$ e $g$ .

Prerequisiti

saper fare lo studio di funzione
ricordare la condizione per il centro di simmetria di una curva
risolvere un sistema uguagliando al parte esponenziale con la parte non esponenziale
saper calcolare un integrale definito: area racchiusa tra due curve

Sviluppo

Primo punto

Parto con la $f$ che è una semplice parabola.

Le intersezione con l’asse $y$ ossia ponendo $x=0$ risulta -1.

L’intersezioni con l’asse $x$ ossia ponendo $y=0$ e risolvendo l’equazione di secondo grado $x^2-x-1=0$ sono:

$x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1.6$ e

$x=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\simeq -0.6$

Con la derivata prima determino il vertice della parabola:

$f'(x)=2x-1=0$

Il vertice della parabola risulta:

$V\left ( \cfrac{1}{2};-\cfrac{5}{4} \right )= V\left ( 0.5; -1.25\right )$

è un punto di minimo (basta studiare il segno della derivata prima.

Adesso studio la $g$ .

L’intersezione con l’asse $y$ ossia ponendo $x=0$ risulta -1.

L’intersezione con l’asse $x$ ossia ponendo $y=0$ risulta 1.

Studio la derivata prima e di ha dopo alcuni semplici passaggi:

$-2x^2+4x-1=0$

$x_{1}=\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}\simeq 1,7$

$x_{2}=\cfrac{2-\sqrt{2}}{2}\simeq 0,29$

Studiando il segno si vede che il primo è il punto di massimo mentre il secondo è il punto di minimo con le seguenti coordinate.

minimo $m(0,29;-1.15)$ e massimo $M(1,7;1,16)$

La rappresentazione grafica fornisce le seguenti curve:

Secondo punto

Perchè esista un centro di simmetria deve valere la seguente relazione:

$\left\{\begin{matrix} x=2a-x'\\ y=2b-y' \end{matrix}\right.$

sostituendoli nella $g$ risulta:

$2b-y'=(2a-x'-1)e^{2(2a-x')-(2a-x')^2}$

e bisogna uguagliarle:

$y'=2b-(2a-x'-1)e^{2(2a-x')-(2a-x')^2}=y=(x-1)e^{2x-x^2}$

da questa si vede che $b=0$ e guardando solo i termini che non sono nell’esponente si ha la condizione $-2a+1=-1$ ossia $a=1$ .

il punto $P(1;0)$ è quello di simmetria. Come si poteva anche vedere dal grafico

Terzo punto

Si deve risolvere il sistema:

$\left\{\begin{matrix} y=x^2-x-1\\ y=(x-1)e^{2x-x^2} \end{matrix}\right.$

$x^2-x-1=(x-1)e^{2x-x^2}$

L’esponenziale si deve annullare per cui:

$2x-x^2=0$ che ha come soluzioni 0 e 2

Anche il polinomi che moltiplica l’esponenziale si deve annullare

$x^2-x-1=x-1$ che ha come soluzione o e 2.

Quindi si annulla in $P(0,-1)$ e in $P'(2;1)$ .

Per verificare la condizione di tangenza si calcola il valore della derivata prima in 0 e deve avere lo stesso valore:

$f'(x)=2x-1$

$f'(0)=-1$

$g'(x)=(-2x^2+4x-1)e^{2x-x^2}$

$g'(0)=(-1)e^{0}=-1$

ed effettivamente sono tangenti.

Quarto punto

Si deve calcolare l’area della seguente regione di piano:

$\int_{0}^{2}(x-1)e^{2x-x^2}-(x^2-x+1)dx$

Si deve notare che il primo integrale (x-1) è la derivata a meno di -2 dell’esponente per cui la primitiva risulta:

$F(x)=-\cfrac{1}{2}e^{2x-x^2}-\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{x^2}{2}+x$

$F(2)-F(0)=\cfrac{4}{3}$ .

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