[:it]Maturità 2018: decimo quesito[:]

Pubblicato il 28 Giugno 2018 da admin

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alex alemany

Determinare quali sono i valori del parametro k\in \mathbb{R} per cui la funzione

(1)   \begin{equation*} y(x)=2e^{kx+2} \end{equation*}

è soluzione dell’equazione differenziale

(2)   \begin{equation*} y^{''}-2y^{'}-3y=0 \end{equation*}

Prerequisiti

  • saper effettuare la derivata di una funzione esponenziale
  • conoscere la derivata delle funzioni composte
  • saper risolvere un’equazione differenza del secondo grado

Sviluppo

I metodo

Effettuo la derivata della (1).
Sapendo che:

(3)   \begin{equation*} \left ( f(g(x)) \right )^{'}=f^{'}(g(x)))\cdot g^{'}(x) \end{equation*}

la applico e si ha:

(4)   \begin{equation*} y^{'}=2e^{kx+2}\cdot k \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} y^{''}=2e^{kx+2}\cdot k\cdot k \end{equation*}

inserendole nella (2) si ha:

2k^{2}e^{kx+2}-4ke^{kx+2}-6e^{kx+2}=0
e^{kx+2}(2k^{2}-4k-6)=0
essa si scinde quindi in due equazioni:
e^{kx+2}=0
che si annulla solo e soltanto per k \mapsto -\infty ossia un valore indeterminato;

Si risolva adesso la seguente equazione di II grado:

2k^{2}-4k-6

che porta alle soluzioni k=3 e k=-1.[:]

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