Gaussiana e gaussiana normalizzata: approfondimenti

La gaussiana normalizzata ha equazione:

f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^-{\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}

Essa ha simmetria proprio nel valor medio \mu.

Il suo grafico varia al variare della deviazione standard. Questa figura chiarisce il concetto:

Essa è una densità di probabilità ed effettuando la sua integrazione trovo proprio la distribuzione di probabilità che fornisce la probabilità che un evento possa accadere in un intervallo.

In pratica:

P\left [ a \leqslant x\leqslant b \right ]=F_{x}(b)-F_{x}(a)=\int_{a}^{b}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^-{\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx

Il calcolo di questo integrale non è banale e si preferisce calcolare l'integrale della stessa curva ma traslata nell'origine, standardizzandola ,ponendo:

z=\cfrac{x-\mu}{\sigma }

La gaussiana normalizzata standard avrà equazione:

p(z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^{2}}

con media nulla ossia \mu=0 e deviazione standard unitaria \sigma=1

Questo disegno chiarisce la cosa:

In generale:

\int_{-\infty }^{+\infty }\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^{2}}dz=1

e per calcolare l'integrale in un opportuno intervallo si usa una tabella standard che lo calcola.

Ad esempio:

\int_{-\infty }^{1}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^{2}}dz

osservando la tabella allegata:

CLAMED-tavole-1

si deve trovare la riga corrispondente al valore z=1 e si nota che alla colonna 0.00 il valore è 0,8413.

Significa che la probabilità che un evento sia minore di 1 vale esattamente 84,13%.

Se avessi dovuto calcolare

\int_{-\infty }^{1,01}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^{2}}dz

mi sarei posto sempre sulla riga dell'1 ma alla colonna 0,01 e la probabilità sarebbe stata 0,8438 ossia in percentuale 84,38.

Ricapitolando la riga mi fornisce il valore della z per un il valore intero seguito da un decimale e la colonna mi fornisce il valore corrispondente a partire dal secondo decimale.

Passaggio dalla gaussiana normalizzata a quella standard attraverso la tabella fornita

Ma se un evento  ha media \mu=4 e deviazione standard \sigma=0,81 come faccio a collegarla alla gaussiana standard?

Devo calcolare la probabilità che il mio evento sia sempre minore di 3.

Allora dalla relazione:

z=\cfrac{3-4}{0.81}=-1.23

andando a vedere la tabella si vede che vale 0,10 ossia il circa il 10%.

Informazioni su Francesco Bragadin

Insegno informatica e telecomunicazioni al liceo scienze applicate ed all'indirizzo informatica e telecomunicazioni. Ho terminato gli studi in ingegneria elettronica e telecomunicazioni lavorando per molti anni come libero professionista nell'ambito della gestione storage e disaster recovery su mainframe.
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