Maturità 2017: terzo quesito

Paul Klee

Sapendo che:

(1) $\begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{\sqrt{ax+2b}-6}{x}=1$ \end{equation*}$

determinare i valori di $a$ e $b$ .

Prerequisiti

conoscere il calcolo con i limiti
sapere fare la razionalizzazione inversa
prodotto notevole della differenza del binomio
conoscere il metodo della fattorizzazione per eliminare gli zeri del numeratore e denominatore

Sviluppo

Sostituendo il valore 0 alla $x$ del numeratore e del denominatore mi trovo nella situazione:

$\cfrac{\sqrt{2b}-6}{0}=\infty$

La razionalizzazione inversa è necessaria per poter semplificare la $x$ presente al numeratore con quella del denominatore; utilizzo il prodotto notevole

(2) $\begin{equation*} \left ( a+b \right )\cdot \left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2} \end{equation*}$

Bisogna anche ricordarsi che il quadrato di una radice quadrata mi dà proprio il radicando ossia l’argomento della radice.

(3) $\begin{equation*} \left (\sqrt{5} \right )^2=5 \end{equation*}$

Applicandola ad un prodotto notevole ho:

(4) $\begin{equation*} \left ( \sqrt{a}+b \right )\left ( \sqrt{a}-b \right )=\left ( \sqrt{a} \right )^2-b^{2}=a-b^2 \end{equation*}$

Faccio la razionalizzazione inversa ossia moltiplico il numeratore ed il denominatore per $\sqrt{ax+2b}+6$ e la (1) diventa:

(5) $\begin{gather*} \cfrac{\left ( \sqrt{ax+2b}-6 \right )\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )}{x\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )} \\ \cfrac{ ax+2b-36 }{x\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )} \end{gather*}$

Adesso per togliere lo zero che annulla sia il numeratore che il denominatore pongo:

(6) $\begin{gather*} 2b-36=0 \\ b=18 \end{gather*}$

sostituendo il valore trovato nella (6) nella (1) il limite diventa:

(7) $\begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{ ax }{x\left ( \sqrt{ax+36}+6 \right )} \\ \end{equation*}$

Solo adesso, dopo avere eseguito la razionalizzazione inversa, posso semplificare la $x$ presente nel numeratore con quella del denominatore.

(8) $\begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{ a }{\sqrt{ax+36}+6} \end{equation*}$

Perché tale limite vada ad 1 è sufficiente risolvere la seguente equazione avendo posto a 0 il valore dell $x$ (il valore a cui tende il limite)

(9) $\begin{gather*} \cfrac{ a }{\sqrt{36}+6}=1 \\ \cfrac{ a }{6+6}=1 \\ a=12 \end{gather*}$

quindi ricapitolando i due valori sono:

(10) $\begin{gather*} a=12 \\ b=18 \end{gather*}$

Maturità 2017: terzo quesito

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