Maturità 2017: problema 2

Consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , periodica di periodo $T=4$ il cui grafico, nell’intervallo $[0;4]$ , è il seguente:

Come si evince dalla figura 1, i tratti OB, BD, DE del grafico sono i segmenti i cui estremi hanno coordinate: $O(0,0), B(1,1), D(3,1), E(4,0)$ .

1) Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione $f$ è continua e in quali è derivabile e verifica l’esistenza dei limiti: $\underset{x\rightarrow \infty }{lim} f(x)$ e $\underset{x\rightarrow \infty }{lim} \cfrac{f(x)}{x}$ ; qualora esistano, determinare il valore.
Rappresenta inoltre, per $x\in \left [ 0;4 \right ]$ , i grafici delle funzioni:

(1) $\begin{equation*} g(x)=f'(x) \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt \end{equation*}$

Prerequisiti

conoscere le caratteristiche dei punti angolosi
retta passante per due punti
conoscere i limiti
conoscere bene le derivate
conoscere gli integrali
saper fare un grafico con sicurezza delle funzioni elementari quali retta e parabola

Svolgimento
$\underset{x\rightarrow \infty }{lim} f(x)$
non può esistere essendo f(x) una funzione che oscilla tra +1 e -1.
Invece
$\underset{x\rightarrow \infty }{lim} \cfrac{f(x)}{x}=0$
in quanto f(x) varia sempre da +1 a -1 e diviso per un numero che tende all’infinito inevitabilmente si avrà lo 0 come risultato.

Per risolvere la (1), preferisco prima scrivere le equazioni che rappresentano la funzione periodica $f(x)$ .

L’equazione della retta passante per $O(0,0), B(1,1)$ è proprio la bisettrice del primo quadrante $y=x$ .
Per avere l’equazione della retta passante per $B(1,1), D(3,-1)$ uso la relazione:

(3) $\begin{equation*} \cfrac{y-y_{D} }{ y_{B}-y_{D} }=\cfrac{x-x_{D}}{x_{B}-x_{D}} \end{equation*}$

(4) $\begin{gather*} \cfrac{y+1}{1+1}=\cfrac{x-3}{1-3} \\ y=-x+2 \end{gather*}$

Per avere l’equazione della retta passante per $D(3,-1), E(4,0)$ uso la relazione (3)

(5) $\begin{gather*} \cfrac{y-0}{-1+0}=\cfrac{x-4}{3-4} \\ y=x-4 \end{gather*}$

Ricapitolando:

(6) $\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{matrix} x & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -x+2 &1\leqslant x\leqslant 3 \\ x-4 & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}$

La (1) adesso si può calcolare derivando la (6) tra gli opportuni intervalli:

(7) $\begin{equation*} g(x)=f'(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -1 &1\leqslant x\leqslant 3 \\ 1 & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}$

La sua rappresentazione grafica è:

Per trovare la (2), uso ancora la (6) considerando gli intervalli opportuni.

Per $x\in [0;1]$

(8) $\begin{equation*} h(x)=\int_{0}^{x}tdt=\left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2}\end{matrix}\right|_{0}^{x}=\cfrac{x^{2}}{2} \end{equation*}$

Per $x\in [1;3]$

(9) $\begin{gather*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{x}(-t+2)dt= \\ \left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2}\end{matrix}\right|_{0}^{1}+\left\begin{matrix} -\cfrac{t^{2}}{2}+2t\end{matrix}\right|_{1}^{x}= \\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{x^{2}}{2}+2x+\cfrac{1}{2}-2=\\ -1-\cfrac{x^{2}}{2}+2x \end{gather*}$

Per $x\in [3;4]$

(10) $\begin{gather*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{3}(-t+2)dt+\int_{3}^{x}(t-4)dt \\ \left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2} \end{matrix}\right|_{0}^{1}+ \left\begin{matrix} -\cfrac{t^{2}}{2}+2t \end{matrix}\right|_{1}^{3}+ \left\begin{matrix} (\cfrac{t^{2}}{2}-4t) \end{matrix}\right|_{3}^{x}= \\ \cfrac{1}{2}+\left ( -\cfrac{9}{2}+6 \right )-\left ( -\cfrac{1}{2}+2 \right )+\cfrac{x^2}{2}-4x-\cfrac{9}{2}+12\\ 8+\cfrac{x^2}{2}-4x \end{gather*}$

Riunisco la (8) la (9) e la (10)

(11) $\begin{equation*} h(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}}{2} & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -1-\cfrac{x^{2}}{2}+2x& 1\leqslant x\leqslant 3\\ 8+\cfrac{x^2}{2}-4x & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}$

La sua rappresentazione grafica è la rappresentazione di tre parabole negli opportuni intervalli:

2) Considera la funzione:

(12) $\begin{equation*} s(x)=\sin \left ( bx \right ) \end{equation*}$

con $b$ costante reale positiva; determina $b$ in modo che $s(x)$ abbia lo stesso periodo di $f(x)$ .
Dimostra che la porzione quadrata di piano OABC in figura 1 viene suddivisa dai grafici di $f(x)$ e $s(x)$ in tre parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all’interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle 3 parti individuate.

Prerequisiti

conoscere il significato di periodicità di una funzione trigonometrica
conoscere la definizione di probabilità
applicare il concetto di probabilità nel caso della geometria piana
conoscere l’integrale come area di una regione finita di piano

Sviluppo

Perché la funzione (12) abbia periodo 4 è sufficiente studiare quando:

(13) $\begin{equation*} \sin \left ( bx \right )=0 \end{equation*}$

esso si annullerà quando:

(14) $\begin{gather*} bx=\pi \\ bx=2\pi \end{gather*}$

avendo periodo 4 significa che sia per $x=4$ ma anche $x=2$ si annulla per cui:

(15) $\begin{gather*} b2=\pi \\ b4=2\pi \end{gather*}$

entrambe mi portano ad affermare che

(16) $\begin{equation*} b=\cfrac{\pi }{2} \end{equation*}$

Rappresento graficamente la situazione per $x\in [0;1]$ , ossia all’interno del quadrato $OABC$ .

e si osserva che si hanno tre regioni.
La definizione di probabilità è:

(17) $\begin{equation*} P=\cfrac{favorevoli}{probabili} \end{equation*}$

In questo caso: l’evento favorevole è una delle tre aree, l’evento probabile è l’area totale che vale 1 essendo un quadrato di lato 1.

L’area della zona superiore si calcola sottraendo all’area del quadrato di lato unitario l’integrale della funzione $s(x)$ :

(18) $\begin{gather*} A_{1}=1-\int_{0}^{1}\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )dx= \\ 1-\left\begin{matrix} \left (-\cos \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )\cdot \cfrac{2}{\pi} \right ) \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ 1-\cfrac{2}{\pi} \end{gather*}$

Essa corrisponde alla probabilità che il punto possa cadere in quest’area.

L’area della zona centrale si calcola attraverso l’integrale della funzione $s(x)$ a cui sottraggo l’area del triangolo di base 1 ed uguale altezza.

(19) $\begin{gather*} A_{2}=\int_{0}^{1}\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )dx-\cfrac{1}{2}= \\ \left\begin{matrix} -\cos \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )\cdot \cfrac{2}{\pi} -\cfrac{1}{2} \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ \cfrac{2}{\pi}-\cfrac{1}{2} \end{gather*}$

La terza area corrisponde all’area del triangolo di base 1 ed altezza unitaria:

(20) $\begin{equation*} A_{3}=\cfrac{1}{2} \end{equation*}$

3) Considerando ora le funzioni:

(21) $\begin{equation*} f(x)^2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} s(x)^2 \end{equation*}$

discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei tre valori di probabilità determinati al punto precedente

Prerequisiti

conoscenza del grafico del quadrato di una funzione e sua approssimazione grafica
sapere sviluppare in maniera molto sicura gli integrali

Sviluppo

Tra $0\leqslant x\leqslant 1$ la $f(x)^2$ da retta diventa una parabola.
mentre la funzione trigonometrica $s(x)$ ha un flesso per $x=\cfrac{1}{2}$ .
Si può quindi qualitativamente dire che
$A_{3}$ diminuisce
$A_{1}$ aumenta

Per meglio evidenziare la situazione faccio il grafico delle tre curve che può essere ricavato solo se precedentemente ci si è esercitati con i grafici delle funzioni trigonometriche.

Per l’area compresa si deve calcolare il seguente integrale:

(23) $\begin{equation*} A_{2}=\int_{0}^{1}\left (\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right ) \right )^2-x^{2}dx \end{equation*}$

Vi sono due strade e la migliore è analizzare il grafico:

e si nota che l’area del grafico della funzione trigonometrica è proprio l’area del triangolo di base unitaria ed altezza uguale in quanto i contributi della “gobba” si bilanciano.

Quindi è sufficiente calcolare il seguente integrale notevolmente più semplice:
Per l’area compresa si deve calcolare il seguente integrale:

(24) $\begin{gather*} A_{2}=\cfrac{1}{2}-\int_{0}^{1}x^{2}dx= \\ \cfrac{1}{2}-\left\begin{matrix} \cfrac{x^3}{3} \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{6} \end{gather*}$

valore di poco inferiore a quello precedente.

4) Determina il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione $h(x)$ per $x\in [0;3]$ e l’asse x.

Prerequisiti

conoscere la formula per il calcolo del volume di figure piane che ruotano attorno all’asse y.

Sviluppo

Si utilizza la seguente formula:

(25) $\begin{equation*} V=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx \end{equation*}$

La applico ad $h(x)$

(26) $\begin{gather*} V=2\pi\int_{0}^{1}\cfrac{x^3}{2}dx+\int_{1}^{3}-x-\cfrac{x^3}{2}+2x^{2}dx= \\ 2\pi \cdot \left\begin{matrix} \cfrac{x^4}{8} \end{matrix}\right|_{0}^{1}+ \left\begin{matrix} -\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^4}{8}+\cfrac{2x^3}{3}- \end{matrix}\right|_{1}^{3}= \\ 2\pi \cdot \left (\cfrac{1}{8} -\cfrac{9}{2}-\cfrac{81}{8}+\cfrac{54}{3}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{8}-\cfrac{2}{3} \right )= \\ 2 \pi\cdot \cfrac{83}{24}= \pi\cdot \cfrac{83}{12} \end{gather*}$

Maturità 2017: problema 2

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